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1、精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理静安区20xx学年高三年级第一学期期末数学理试卷 （试卷满分150分 考试时间120分钟） 20xx.1一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 1已知集合，则 .2（理）已知 ，则的值是 .3当时，函数的值恒大于1，则实数的取值范围是 .4关于未知数的实系数一元二次方程的一个根是（其中为虚数单位），写出一个一元二次方程为 .5（理）某班有38人，现需要随机抽取5人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有 种
2、. （结果用数值表示）6（理）不等式的解集是 .7若（其中、为有理数），则 .8（理）已知方程，则当时，用列举法表示方程的解的集合是 .9（理）如图，平面内有三个向量、，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|2，|，若+（、R），则+的值为 .10设某抛物线的准线与直线之间的距离为3，则该抛物线的方程为 .11（理）已知，且，则的值用表示为 .12（理）已知椭圆，过椭圆上一点作倾斜角互补的两条直线、，分别交椭圆于、两点.则直线的斜率为 .13（理）若圆与圆的两个交点始终为圆的直径两个端点，则动点的轨迹方程为 .14（理）已知不等式的解集为，则 ，且的值为 .二、选择题（本大题满分20分）本
3、大题共有4题，每题有且只有一个正确答案考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15（理）“”是“直线与直线互相垂直”的 ( ) A充要条件；B充分不必要条件；C必要不充分条件；D既不充分也不必要条件.16已知命题：如果，那么；命题：如果，那么；命题：如果，那么.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是 ( ) 命题是命题的否命题，且命题是命题的逆命题. 命题是命题的逆命题，且命题是命题的否命题. 命题是命题的否命题，且命题是命题的逆否命题.A； B； C D17已知函数的值域是，则实数的取值范围是 ( ) A； B； C； D.18（理）已知函数是定
4、义在实数集上的以2为周期的偶函数，当时，.若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是( ) A或； B0；C0或； D0或.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分5分.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表.其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心
5、角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照九章算术中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）20(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（理）（1）设、是不全为零的实数，试比较与的大小；（2）设为正数，且，求证：.21（理）(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知双曲线（其中）.（1）若定点到双曲线上的点的最近距离为，求的值；（2）若过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，其中，是双曲线的右焦点.求的面积.22(本题满分16分) 本题共有
6、3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设无穷数列的首项，前项和为（），且点在直线上（为与无关的正实数）（1）求证：数列（）为等比数列；（2）记数列的公比为，数列满足，设，求数列的前项和；（3）（理）若（1）中无穷等比数列（）的各项和存在，记，求函数的值域.23(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分.（理）已知函数（其中且），是的反函数.（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；（3）设，其中.记，数列的前项的和为（），求证：.20xx学年第一学期静安理科数学试卷解答
7、与评分标准 1； 2（理）； 34； 5 （理）；6（理）；7169； 8（理） ； 9（理）12；10或. 11（理）；12（理）；13（理）；14（理）4；15（理）B ； 16A 17 C 18D19解：(1) 扇形半径， 2分 扇形面积等于 5分弧田面积=（m2） 7分（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦矢+矢2）=.10分平方米 12分 按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.20（理）（1）解法1：-=3分因为、是不全为零的实数，所以，即。 6分解法2：当时， ； 2分当时，作差：；又因为、是不全为零的实数，所以当时，。综上，。6分（2
8、）证明：当时，取得等号3。 7分作差比较：0所以， 14分（文）证明：（1） 3分 6分（2）由（1）得（）8分可得 10分 12分即. 14分21（理）（1）设点在双曲线上，由题意得：。由双曲线的性质，得。 1分（i）若，则当时，有最小值。最小值，所以。 3分（ii）若，则当时，有最小值，此时，解得。 6分（2），直线与轴垂直时，此时，的面积=. 7分直线与轴不垂直时，直线方程为， 8分设，解法1：将代入双曲线方程，整理得：，即 10分所以， 11分=.14分解法2：将代入双曲线方程，整理得：， 10分， 11分点到直线距离，的面积=.14分21文：（1）解法1：设直线方程为，代入双曲线方程
9、得：，2分由得.设、两点坐标分别为、，则有；又由韦达定理知：，4分所以，即得点的坐标所满足的方程.5分注：或，点的轨迹为两条不包括端点的射线.解法2：设、两点坐标分别为、，则有，两式相减得：（*）.2分又因为直线的斜率为2，所以，再由线段中点的坐标，得.4分代入（*）式即得点的坐标所满足的方程.5分（2），直线与轴垂直时，此时，的面积=. 6分直线与轴不垂直时，直线方程为， 7分设，解法1：将代入双曲线，整理得：，即 9分所以， 10分=. 13分所以，. 14分解法2：参见理科解法2。22（1）由已知，有，当时，；2分当时，有，两式相减，得，即，综上，故数列是公比为的等比数列； 4分（2）由
10、（1）知，则，于是数列是公差的等差数列，即， 7分则 =10分（3）（理）由解得：。 12分 14分，当时，函数的值域为。 16分（3）（文）不等式恒成立，即恒成立，又在上递减，则 14分 16分23（理）（1）转化为求函数在上的值域，该函数在上递增、在上递减，所以的最小值5，最大值9。所以的取值范围为。 4分（2）的定义域为， 5分 定义域关于原点对称，又， ，所以函数为奇函数。 6分下面讨论在上函数的增减性.任取、，设，令，则，所以因为，所以. 7分又当时，是减函数，所以.由定义知在上函数是减函数. 8分又因为函数是奇函数，所以在上函数也是减函数. 9分（3） ； 10分 因为，所以，。
11、11分设，时，则 ， 12分 且， 13分由二项式定理， 14分所以，从而。 18分 23（文）：（1） 4分（2）由（1），定义域为.5分讨论在上函数的单调性.任取、，设，令，则，所以因为，所以，所以. 7分又当时，是减函数，所以.由定义知在上函数是增函数. 8分又因为函数是奇函数，所以在上函数也是增函数. 9分（3）当时，要使的值域是，则，所以，即， 11分 而，上式化为，又，所以当时，；当时，； 13分 因而，欲使的值域是，必须，所以对上述不等式，当且仅当时成立，所以解得，. 18分sj.fjjy.orgsj.fjjy.org精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理精修版资料整理
