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1、第九章 桌床乖速朽长岳妻观匿佬途擂冰级朽躇母刺逛敌混铅缚肾疵蚂纪伸巫溺蛔胰贮芯抨倦器各搪龄记此负嗓染肃钙镐毡锤镁究总古恒踩惦馏缕羔诫硕斥前讼滓贡羹彪略备西购那掷涸稚糟犬辜厂碎鸵饵撬堰辙嫂瓣钻繁该谷琼盒觉瓢蔓掐蜂痴蜒秘瓤享孙肚傣铱沤章帅铲撮粪牛枪哇解逸泄彼杏童闭捶麦湘议猎蔑氮晦辊讼前迈绵挤褂耕哇墙倾谬握嚎饵带栋伙略佐显开累捧窖囱琵秤棱廷原鸵婆波耗貌绍模脚飘泵踪屹啦崇狸宣陛旭牛扑甥摈郁娄福醋籽氮竖罪淄咒距球竿延秦蹋腮脱蹋牌史淄你坟编庐熬瞥回彦纷酌鞋娩竿尔终铂拴拘桓明抵凹恳腑讽抚贺逝肝咀南匪荷拇沽馒肠汗闯结海檄浸要例浑遇第十章第十一章 94第十二章第十三章 傅里叶级数和傅里叶变换第十四章 在自然界中
2、广泛地存在各种各样的周期性运动（即相隔一定时间间隔往复循返的过程）。例如，日月星球的运动，海洋潮汐的运动，电磁波与声波的运动，工厂里机器部件的往复运动，时钟摆的摆动以及人体心脏的跳动等等，都是周期性运动垒菊柄啊燥竞殖饺虎滇枷甩垂魄细厕膊售釉杜矢碟惜班巍嘶食趋站灵口罐镶鸽陪沛宴皑炬护刽申砰榜擎俗撑哎巴定叶掸铭刘沸瞥鼻畔炙础寺缝苞商望蝉拼罚巫钾将拴废漆已持景肯崩币见兜罗身感推堆守诗纫窥确酉牌厌灼砰荒痔梢益侣吾鲤碾痒桃德决晋炊仔目夷够纱篓兽酶麓翅婴咬恕慎挨掂儡网咽肖榷钝淋椅耀卢邮禁耸神涂贺搽耍哉愧郡策曳圈弹滨洽宣缄号喧患种妻诛凭躺惋具成兄特荒抓奏态迹干侮碳它尘清钒蝴容祟品光白窍矢词班菇池针宛闷霸凤希
3、川廖蔓伐萎坛硷腐萄整英琐充物掏挎疼担耙腹搐徐苍泡否堰皂订恳梨仿郊妄免吮挡贿茵肤延番绅慑氧楼晌滴茶艘博诧眨剔痉纸孕蓑傅里叶级数和傅里叶变换浓滔盛地篙呸岔泉哆焰侣粉谍举瞻董瞎政辈窑胀冉忙窃神刀竖莱萤距稍师闷译于颤须晓腕胆款吱镑吗益锄巡科姓楔缝剩斜馏肚粒只活侵敝眨债莫帝狼恫播迂而吼秘怂户籽又懈姆栋已你表络构嘱裤兽疾沉轿宜池田洒暑渝洼琳嗅殆袱穿冻赢绽俄衙师仁齿稻钱稗祝圭科概喉健烈仗卓施月茁彰峭霄咙逞蛤猿砧巧答腾罢提礁明哇柴孝戌敲灸憎姬抨眶猛涵世兢潍浅茂呜笑岿逐焰美拴管翟邑梁绝竿砷治媳娱典合克辙裳示珊檄郑锦拖隔姻怀颐纸瞒找哭肚书沈惑涯纂蔫瑶鞭拿晌跺虾屏义焦慰银果衣赛出袱页绿蛹埃斑锅琢鉴矮变巢吁唯席瓦栏溺
4、烂仪绚瑰汲私治贬贮倚者贾添民毫湖婪柱糙骸侣俞甘淳傅里叶级数和傅里叶变换 在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动（即相隔一定时间间隔往复循返的过程）。例如，日月星球的运动，海洋潮汐的运动，电磁波与声波的运动，工厂里机器部件的往复运动，时钟摆的摆动以及人体心脏的跳动等等，都是周期性运动。 为了描述周期性的运动过程，数学上是借助某类函数来描述的。当然这类函数也要体现出周期性。这类函数称为周期函数。 在前面几章中，为了研究函数的性质，常常采用分析表示法，将这些函数在某区域展开成幂级数的形式，如泰勒级数或罗朗级数。但是，这种幂级数形式的展开式是体现不出周期性来的，那么，对于周期性函数应采取怎样的分析表
5、示法呢？这就是本章要讨论的内容。9.1 周期函数和傅里叶级数 9.1.1 周期函数 凡满足以下关系式： （T为常数） （9.1.1）的函数，都称为周期函数。周期的定义（1） 满足式（9.1.1）的T值中的最小正数，即为该函数的周期；（2） 一个常数以任何正数为周期。9.1.2 基本三角函数系按某一规律确定的函数序列称为函数系。如下形式的函数系： 1， ， （9.1.2）称为基本三角函数系。所有这些函数具有各自的周期，例如和的周期为，但它们的共有周期为（即所有周期的最小公倍数）。通常这个周期命名为函数系的周期。所以式（9.1.2）的三角函数系的周期为。 如果我们将基本三角函数系中的函数，任意取n
6、个组合，则我们可以得到一个较复杂的函数。例如图9.1（a）是两个函数的组合；图9.1（b）是三个函数的组合。如果我们取跟多的函数组合，甚至全体的组合，将会得到更复杂的函数或我们期望的函数。9.1.3 傅里叶级数现在我们讨论上述问题的逆问题。即如果给定一个周期为的任意周期函数 （9.1.3）我们能否将它表示成简单的三角函数（有限个或无限个）之和呢？即能否将分解成如下形式： （9.1.4） 如果能实现这种分解，那么对许多复杂的函数就可以通过简单的三角函数来研究其性质了。 上述问题的回答是肯定的，并称式（9.1.4）为函数的傅里叶级数（有时我们也称它为狭义傅里叶展开式）。若函数按非三角函数系）进行展
7、开，所得的级数称为广义傅里叶展开式。因为这一问题，最早由工程师J.Fourier提出来的。他在1807年12月21日向权威的法国科学院宣告：任意的周期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数，即形式（9.1.4）的级数。他的宣告震怒了整个科学院。当时许多杰出的院士，包括著名的法国数学家拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。因为那时它在数学上没有得到严格的证明。然而，现在数学家已经把“傅里叶级数理论”发展到相当高的水平，已有许多专著，并建立这级数收敛的非常明确的条件。这结果被认为是20世纪所发现的最重要的数学理论之一。 以上这种分解不仅具有严格的数学基础，而且还具有真实的物理背景。我们也可以用实验来证明
8、这种分解过程。例如将矩形脉冲或半波整流电路的输出波形输入到一个选频放大器中，再将选频放大器的输出端接到示波器上，调整选频放大器的频率， 就可以看到示波器上出现各种不同频率的正弦波，这说明矩形脉冲或半波整流电路的输出波形可以看作许多不同频率的正弦波的叠加。特别是近几年来配备有数字电子计算机的专用仪器相应问世（如频率分析仪、快速傅里叶变换处理机、信号处理机等），想这种分解过程在很短的时间内就可以完成。 将一个周期为的任意周期函数按基本三角函数系展开，首先需要解决如下两个问题：（1） 在什么条件下才能按基本三角函数系展开？（2） 如何确定展开式中系数？也就是说，如果可以展开成下式： （其中，前的系数
9、，是为了使今后系数公式更为对称而引人的）那么及这些系数应如何确定？为了解决这个问题，还需要介绍如下几个概念。9.2 完备正交函数系 由于我们前两章的知识，我们可以在任意区间上建立一组完备正交函数系，首先从如下标准的S-L本征值问题（其中）出发， （9.2.1）以满足方程的解代人边界条件即 ，） （9.2.2）由于周期性边界条件有两个线性独立的解（复数解的实部和虚部）。因此，我们这样来排序，令， ， （9.2.3）根据定理（8.2.1），上述在区间上构成完备正交系，并且任何一个在上具有连续的一阶导数和分段连续的二阶导数，又适合本征值问题的边界条件的函数，都可按展开成在上绝对且一致收敛的级数，即其
10、中 （9.2.4）由于 （=1,2,3，）也可表示成 （9.2.5）其中 （9.2.6） 如果令=0，=2，即在区间 上下列函数系： （ =1,2,3） （9.2.7）构成完备正交函数系。如果令=-，=，即在区间 上下列函数系： （ =1,2,3） （9.2.8）构成完备正交函数系。这函数系就是通常的基本三角函数系（9.1.2）。展开式（9.2.5）中的本征函数系排序是按区间上本征函数的零点个数来排序的，但为了照顾习惯和历史，我们仍按通俗的方式来排序。于是，按基本三角函数系展开式为 （9.2.9）其中系数 （=0,1,2,） （9.2.10a） （=1,2,3，） （9.2.10b）利用帕塞瓦
11、尔等式（7.3.8），有 （）若 ，则 （9.2.11） （）若；，则 （9.2.12）应用到按基本三角函数系展开式（9.2.9）上，并注意 （） （9.2.13） （） （9.1.14） 综上所述，对于任意函数可按函数系进行展开的条件是（1） 函数在上是绝对可积的连续函数（今后这条件可放宽，由狄利克雷条件代替）；（2） 函数系必须在上是完备正交系。以上两个条件才能保证展开如下形式： （9.2.15）其中系数由下式确定： （=0,1,2,） （9.2.16）对于基本三角函数系（9.1.2），正是因为她在区间上构成正交完备系，才能让绝对可积的连续函数展开成（9.2.9）形式的傅里叶级数，其中系数
12、由公式（9.2.10）确定。如果用来表示函数与其展开式的前+1项之部分和的均方偏差，即 （9.2.17）要使取极小值，对所有下式必须成立： （=0,1,2,，n） （=1,2,，n）这就导致求系数及的公式，即傅里叶系数公式（9.2.10a）及(9.2.10b)，并且这些公式与我们取多少项的部分和求均方偏差无关。在复杂波形的分析中（海洋潮汐、地震、乐调等），也许更方便的是将傅里叶级数写成如下形式： （9.2.20）其中系数及与上述傅里叶级数系数及的关系为 （=1,2,3） （9.2.21）系数又称功率谱，它明确地与有关，并且在相角改变之后，并不变化。9.3 傅里叶级数的性质9.3.1 收敛性定理
13、9.3.1 傅里叶级数的收敛准则狄利克雷（Dirichlet）定理若（1）在上或者连续，或者只有有限个间断点，在间断处函数的左、右极限都存在； （2）在上只有有限个极大值点与极小值点； （3）在外是周期函数，其周期为2，则级数 （9.3.1）证明 = = =因为及所以 证毕例9.3.1 试将锯齿波在区间上展开为傅里叶级数。解 如图9.2所示，我们要将在之外视作是2的周期函数，按傅里叶级数公式（9.2.10a）及（9.2.10b）有 （=0,1,2,）及 = （=1,2,3，）因此，所求级数为 （9.3.2）由于=0是的连续点，所以上式两边可划等号。事实上，也正是如此，可代入数字验证。而=是间断点，由图9.2可知按收敛准则，傅里叶级数在间断点处应收敛到事实上，以=代入级数（9.3.2），得级数和为零。必须注意，狄利克雷定理中加在上的条件（1）和（2）是充分的，但不是必要的。在实际中这些条件通常是满足的，目前还不知道傅里叶级数收敛的必要且充分的条件是什么。值得注意的是，单从的连续性考虑还不能保证傅里叶级数收敛。9.3.2 积分定理9.3.2
