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1、复数、算法、推理与证明第一节数系的扩充与复数的引入一、基础知识1 复数的有关概念(1)复数的概念：形如 a bi(a， b R)的数叫复数，其中a， b 分别是它的实部和虚部若b 0，则abi为实数；若b 0，则a bi 为虚数；若a 0 且b 0，则a bi 为纯虚数一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.(2)复数相等： a bi c di ? ac 且 b d(a， b， c， d R)(3)共轭复数： a bi 与 c di 共轭 ? a c， b d(a， b， c， d R)(4)复数的模：的模 r 叫做复数z a bi(a ， b R)的模，记作 |z|或 |a
2、bi| ，即 |z| |a bi| 向量 OZa2 b2.2 复数的几何意义(1)复数z abi复平面内的点Z(a， b)(a， b R)复数z a bi a， bR的对应点的坐标为a， b，而不是a， bi .(2)复数 z abi( a， b R)平面向量 OZ .3 复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 z1 a bi ， z2 c di( a， b，c， d R)，则加法： z1z2( abi) (c di) (a c) (b d)i ；减法： z1z2( abi) (c di) (a c) (b d)i ；乘法： z1z2 (a bi) (c di) (ac bd) (ad
3、 bc)i ；除法：z1a bia bi c diac bd bc adcdic di c di 2 d2 22 i(cdi 0)z2cc d(2)复数加法的运算定律设 z1， z2， z3 C，则复数加法满足以下运算律：交换律： z1 z2 z2z1；结合律： (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3)二、常用结论2 2i ，1 i i ，1 i i.(1)(1 i)1i1i(2) b ai i(a bi) (3)i 4n 1， i4n 1 i， i4n2 1， i4n 3 i(n N * )； i 4n i4n 1 i4n 2 i4n 3 0(n N * )22z1|z1|nn(4)zz
4、 |z| | z |， |z1z2| |z1| |z2|， z2|z2|， |z | |z| .考点一复数的四则运算典例 (1)(2017 山东高考 )已知 i 是虚数单位，若复数z 满足 zi 1i ，则 z2 ()A 2iB 2iC 2D 22 i 1i2(2)(2019山东师大附中模拟)计算： ()1 2iA 2B 2C2iD 2i解析 (1) zi 1 i， z 1i 1 1 1 i.i i z2 (1 i) 2 1 i 2 2i 2i.2i1 i2 2i 2i 24i(2) 2，故选 A.12i12i1 2i答案 (1)A(2)A解题技法 复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加
5、法、 减法、乘法运算可以类比多项式的运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可(2) 复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化，解题中要注意把 i 的幂写成最简形式 题组训练 1 (2019 合肥质检 )已知 i 为虚数单位，则2 i 3 4i ()2 iA 5B 5iC 712iD 7 12i5555解析：选A法一 ： 2i 3 4i 10 5i 5，故选 A.2i2i法二 ： 2i3 4i 2 i 2 3 4i 3 4i3 4i 5，故选 A.2 i2 i 2 i52(2018 济南外国语学校模块考试 )已知1 i2 1 i(i
6、 为虚数单位 )，则复数 z等于 ()zA 1 iB 1 iC 1 iD 1 i由题意，得 z 1 i2 2i解析：选D 1 i ，故选 D.1 i1 i3已知复数 zi i 2 i3 i 2 018，则复数 z _.1i解析： 因为 i4n 1 i4 n 2 i4 n 3 i 4n 4 i i 2 i3 i 4 0，而 2 018 4 504 2，所以 zi i2 i3 i 2 018i i2 1 i 1 i 1 i2i i.1 i1i 1 i21 i1 i答案 ： i考点二复数的有关概念 典例 (1)(2019湘东五校联考 )已知 i 为虚数单位，若复数za i(a R)的实部1 2i与虚
7、部互为相反数，则a ()A 5B 1C1D 5331 i 2i，则 |z| ()(2)(2018 全国卷 )设 z1 i1A 0B.2C1D. 2解析 (1)za ia 1 2i i a 2a5i，复数ai( a R)的实1 2i1 2i 1 2i55z1 2i部与虚部互为相反数，a2a 5，解得 a 5.故选 D.5531 i 2i1i2 2i 2i 2i i，(2) z 1 i1 i1i2 |z| 1.故选 C.答案 (1)D(2)C解题技法 紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式za bi(a， b R)，则该复数的实部为a，虚部为b
8、.(2) 求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数， 即得原复数的共轭复数 复数 z1 a bi 与 z2 cdi 共轭 ? a c，b d(a，b，c，d R) 题组训练 1 (2019 山西八校第一次联考 )已知 a， b R，i 为虚数单位，若 34i3 2 bi，则 aa ib 等于 ()A 9B 5C13D 9解析：选 A由 34i 3 2 bi，得 3 4i 2 bi，即 (a i)(3 4i) 2 bi，(3a 4) (4aa ia i3)i 2 bi，则3a 4 2，a 2，解得故 ab 9.故选 A.4a 3 b，b 11，2 (2019 贵阳适应性考试 )设 z 是复数 z 的共轭复数，满足4i ，则 |z| ()z 1 iA 2B2 221C. 2D.2解析：选B法一： 由 z 4i 4i 1 i，1 i 2 2i1 i1 i得 |z| | z | 22 22 2 2，故选 B.法二 ：由模的性质，得|z| | z |4i|4i|4 22.故选 B.1 i|1 i|23若复数2 a2 (a 1)i为纯虚数 (i 为虚数单位 )，则实数 a 的值是 _z a解析： 由于 z a2 a 2 (a 1)i 为纯虚数，因此a2 a 2 0 且 a 10，解得 a 2.答案： 2考点三
