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1、三角恒等变换的常见技巧注：有*的内容选看!、教学内容：三角恒等变换的常见技巧、学习目标1、掌握引入辅助角的技巧；2、掌握常见的拆、拼角技巧；3、掌握公式的变用、逆用技巧；4、掌握三角对等式、齐次式的处理技巧；5、掌握弦切互化、异名化同名、异次化同次、异角化同角等变形技巧 三、知识要点1、三角恒等变换中的“统一”思想：三角恒等变换的主要目的是异名化同名、异次化同 次、异角化同角、异构化同构，即化异为同，也就是将待证式左右两边统一为一个形式，或将条件中的角、函数式表达 为问题中的角或函数式， 达到以已知表达未知的目的。基本切入点是统一角，往往从统一角入手便能全面达到化异为同的目的。2、 统一思想的
2、应用引入辅助角：对y asinx bcosx型函数式的性质的研究，我茁y = a sin x + b cosx = Ja2 + b2 sin（ x + ）, tan =们常常引入辅助角。即化a，然后将该式与基本三角函数 yAsinx进行比照研究。“位置相同，地位平等”是处理原则。3、 统一思想的应用拆、拼角，如二辺丄一 -= 一- 2 - 等等;4、 统一思想的应用一一弦切互化，如利用万能公式，把正余弦化为正切等等；对关于正 余弦函数的齐次式的处理也属于“弦化切”技巧；5、统一思想的应用一一公式变、逆用，主要做法是将三角函数式或其一部分整理成公式的一部分，然后利用公式的这一部分与另一部分的等量
3、关系代入+t -t2-1”-, sinx+cosx=t,sinxcosx=*6、代换思想的应用一一关于正余弦对等式的处理，常以2代入，把函数式化为关于 t的函数式进行研究；另外，三角代换也是处理函数最值、值域等 问题的重要技巧。四、考点解析与典型例题 考点一 引入辅助角研究三角函数的性质Ji例 1.设 f （x）=asin x +bcotan = = -Jssin(+ 申)_112 a b = 2、3二 2后利用余弦的差角公式求角。2 2 2 2IPPjIE 敬兀限 OtJST a444224422 4222222 21、554 59_ _52322 57 2考点三化弦为切33 9 93339
4、 27327吨务10 VX 一f (x)=例3当4时，函数2cos X2cosxsinx-sin x 的最小值是().(A)4(B)(C) 2【解析】注意到函数的表达式的分子与分母是关于(D)sinx与cosx的齐二次式，所以,n分子与分母同时除以cos2x转化为关于tanx的函数进行求解因为4，所以0 : tan x ：1，所以f ()x2tan x - tan x2匚 1)1I tanx -4考点四巧用公式例 4.求 tan17 tan28 tan17 tan28 的值。二 1【说明】对于两个角的正切的三角函数的和与积的形式的求值问题，通常利用=tan(士 )(1 二 tan 一 tan
5、)ta解】7原式28ta(1(17tan128 t)(n 28ah 17ann728an 28an 17 tan 28 =tan 45 (1 Vaain45ta1i 2蹄 t7tati1r728a)i2 17 ta n 28 tan( )宀-喻 11 +tantan P 的变形式 tan 土 tan考点五 “ 1”的拆变tan |n =21例 5.已知 4，求 2si ncos二Mcos -的值.【分析】由已知易求得tan的值，而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正、余 弦函数且各式都为二次式，而分子是常数 1，可将1化为sin2 cos2 ：,再利用同角三角1 tan ：1=2 tan :
6、-，得3 ,tan2：12函数基本关系将所求式转化为正切函数进行求解.4 n tan 【解】由 41 -tan ：sin2 二-cos2 :于是原式2si n6 os 二 cos2:2ta n：13【说明】对于题中所给三角式中的常数(如:3等)，比照特殊角的三角函2 21 = sin x +cos 数值，将它们化为相应的三角函数，女口其它三角函数的运算，在解题中往往起着十分奇妙的作用.jix = tan = tan x cot x4等，参与考点六三角代换*例6.已知正数【解】1 2a，b，；-=1，求 a 。1 . 2 2=sin x,-ab2cos x22 1 2二 cos x = a b
7、2二sin x cos xsin2x cos2 x2(sin2xcos2 x)2 - sin x2 cos x2sin2 x-=32232.2sin x cos x【说明】 本题解题方法十分丰富，以下方法仅供参考：丄丄1丄2丄2aa +b =(a +b) 1 =(a +b) ( +) =3+ 法一：a bbb2 -b法二：设a，b=x= a=x - b代入条件式，解出x =b - 2然后利用数形结合或函数最值求解方法或利用求导方法或利用不等式知识求解;aba b二b b法三：由条件式解出b - 2代入b - 2，下同法二。五、数学思想方法三角函数式恒等变形 是三角函数最重要的学习内容，无论是研
8、究三角函数式的性质，或是三角函数式的化简、求值和证明，都需要对三角函数式进行恒等变形，方法和技巧十分丰富，其中也蕴含着数形结合、化归、函数与方程、换元、等量代换、图形变换等诸多思想方法，学习中要注意对典型题型和典型方法进行总结整理，加强对数学思想方法 的培养和训练，以及对数学思维品质的培养和训练。【模拟试题】、选择题1、函数y=cos4x -sin4x的最小正周期是兀A、2B、-C、2 二D、4 二2、对任意的锐角 a,3,下列不等关系中正确的是A. sin ( a +B sina +sin 3B. sin ( a+ 3 cos a+cos 3C. cos ( a +) sind- sin 3D. cos ( a+) 一-2 。JTX 兀2兀Xf(x)=sin(一一)一2cos +1 13、设函数4684x = 1对称，求当八勺时(I)求f(X)的最小正周期.(n)若函数 y =g(x)与y = f(x)的图像关于直线 y =g(x)的最大值.
