《椭圆、双曲线地离心率取值范围求解方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《椭圆、双曲线地离心率取值范围求解方法（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法一、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立）2 2，则双曲线离心率例1：双曲线冷_爲=1 a 0,b 0的两个焦点为F,F2，若P为其上一点，且 PF =2 PF2a b的取值范围为（）A.（1,3）B. 1,3C.(3,+) D. |3, - - j【解析】PF|=2PE ， PFP引=2a，PF| ：jPF2| IFF2 （当且仅当P，F1，F2三点共线等号成立） c.6a 丄2c二 e3,又e 1 . ea2例2、如果椭圆笃a的离心率的取值范围为1,3,选 B=1 a b 0上存在一点P，使得点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等
2、，那么椭圆)A. (0, 2 _1 B . . 2 _1,1) C . (0, . 3 _1 D. 3 _1,1)解析】设PF2 =m，由题意及椭圆第二定义可知PF =me,PF +|pF2| = m（e+1）=2an2am =一e 1PF2I |PF - F1F2 （当且仅当P，F，F2三点共线等号成立）.m -me乞2c把m = 2a代入化简可得e+1号 1 e _2c e2 2e 1 _0 e2 又1e :d. e三2 -1,1 ,选 B二、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系2 2例1：双曲线笃-每=1（a0,b0）的两个焦点为 已应，若P为其上一点，且a b心率的取值范围是（）
3、A. （1,3） B. （1,3PFi = 2 PF2，则双曲线离【解析】设c. (3,D. 3,：)PF2 =m，厶FjPF2 =日（0 vB兰兀），当P点在右顶点处日=兀，2 (2m)2_4m2c如. 7 _1”：1,. e (1,3.2c e 二2am三、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系2 2例1：双曲线笃_与 / a 0,b0的两个焦点为FW，若P为其上一点,a b且 PF|=2 PF2，则双曲线离心率的取值范围为（）A.（1,3）B. 1,3C.(3,+ ： ) D. 13, :解：|PF| IPF2 =2a , j PF2 =2a ,即在双曲线右支上恒存在点P使得PF=2可知
4、A FP2F ,2OFO A- ，c ca3a2a)=C_3 又 e 1 e (1,3 .1,选 Ba22例2已知双曲线务-每a b为d,若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。= 1（a 0,b 0）的左、右焦点分别是Fi、F2，p是双曲线右支上一点，p到右准线的距离解：由题意得一“因为d超，所以：，从而P *巧I。又因为P在右支上，所以时：阳=5:.-1.2 2x V例3.椭圆二 2 =1(a . b i)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点 P满足线段AP的垂直a b平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是(0,二(B)0,丄I 2I 2)(
5、A)(C .2-1,1(D)21解析：由题意，椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点 F，即F点到P点与A点的距离相等，而| FA2ac =cb2w| PF| a c, a + cb2于 a c, a+ c即 ac c2w b2= ac+ c2cc和1f222ac - c 二 a - c-222a c ac c c 或上aae (0, 1)故 e2,1例4、已知双曲线答案:2X2aa2=1(a0, b 0)的左、右焦点分别为bF1(-c,0), F2(c,0) 若双曲线上存在点sin NPFiFsin /PF2R解析sin. PF1F2sin ZPF2F|则该双曲线的离心率的取值范围是P
6、F2PF1PF2(由正弦定理得)，.|PFj1-，e PF2I I PF1 e又訓 PF1 |PF2= 2a(e 1)，二(e-1) PF2 =2a，a |PF2ae -1，由双曲线性质知PF2 c a，e1，得 e2 2e 1 ： 0,又；e 1，得 e (121)e1例5、设椭圆2x_2a占=1(a b 0)的左右焦点分别为 F、F2，如果椭圆上存在点P,使/ F-! PF2 =900，求离心率be的取值范围。解析：丁 P点满足/ F1PH=90，.点P在以F1F2为直径的圆上又t P是椭圆上一点，二以 F1F2为直径的圆与椭圆有公共点,x2T E、F2是椭圆-a2 b=1(a b 0)的
7、焦点二以F1F2为直径的圆的半径r满足:r=cb，两边平方，得c2b2即c2a 2-c2Jo由此可得e - , 1)2/1 yO V丿1四、利用圆锥曲线中 X、y的范围建立不等关系2 2X V例1、双曲线 r 牙=1（a . 0,b . 0）的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范 a b围是（）A. （1,、. 2 e. 、2, ：） c. （1,、21 d. 、21,：）2 2 2aaa【解析】 exo-aXo（e_1）x0a ；x0 丄 a,a 亠（e_1）a,ccc.e -仁1 a = 1e2 _2e -1乞0= 12乞e辽12,而双曲线的离心率e 1 ,
8、 e （1r. 2 1,c e2 2XV例2、设点p在双曲线二 -1（a . 0,b . 0）的左支上，双曲线两焦点为F,、F2，已知IPFJ是点p到左准线I的ab距离d和I PF2 I的比例中项，求双曲线离心率的取值范围解析：由题设| PF1 |2 = d | PF2 |得：d旦亠归。由双曲线第二定义IPF1 |径公式得:一二，则 X-导一 a，即 e2a exe -e归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求岀双曲线上一点的坐标,22xvx _ -a ；若点p在双曲线 牙=1的右支上则x丄a。abIPF1Id =e 得:旦d = e，由焦半|PF I 2e1 _0，解得 1 ： e_1. 22X
9、再利用性质：若点P在双曲线一2a2令的左支上则22XV例2.设椭圆二 -=1（a b 0）的左右焦点分别为 F、abF2，如果椭圆上存在点p,使/ F1PF2 =900，求离心率e的取值范围。解析 1：设 p （x，V），又知 F.J （一c, 0），F2 （ c，0），则TTF1 P = （x c，v）， F? P = （x -c，v）T T由 F1PF2 =90，知 R P _ F2P，将这个方程与椭圆方程联立，消去V，可解得则 F1P F20，即（x c）（x -c）y2 = 02 2 2, 22 a c -a bx2 厂a -b但由椭圆范围及 F1PF90 知0 _ x2 : a22
10、2 2 2 即0 乞 a c2a2b : a2a2 b2可得 c2 _b2，即 c2 _a2 -c2，且 c2 :：: a2I从而得e = c _丄，且e a 2a所以e三2, 1)2解析2:由焦半径公式得| 卩卩和=a ex，|PF2| = a - ex又由IPF|PF2|2 =厅汀2|2，所以有2c222c222a 2cx e x a -2cx e x 4c即 a2 e2x2 =2c2，x22c2又点P (x， y)在椭圆上，且x =二a，则知0 _ x2 ： a2，即2 22c -a2:a2 e1)x2v2例3已知椭圆+- =1 (ab0)的左、右顶点分别为 A、B,如果椭圆上存在点 P,使得/ APB1200，求椭圆的离心率a2b2e的取值范围.解：设 P(X。，y。)，由椭圆的对称性，不妨令 0X0a, 0y。b 0,二 2abw . 3 ()即4 ab w 3 c，整理得,63e +4e -4 a 0 考虑 0 e 1,可解得w e ba b0)的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，/ F1PF2=60则椭圆离心率e的取值范围；解：设|PF!|=m，|PF2|=n则根据椭圆的定义，得m+n=2a 又丁厶 EPF?中，/ F1PF?=60由余弦定理，得m+n2-mn=4c2.联解，得又：mnw(m -)222 2Wa：化简
