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1、第1章辅导向量方法典型题讲解若向量a，b，计算a与b的模长，内积和夹角解 理论 a，模aabab b，内积ab ，夹角余弦 |a|, |b|, ab, 2若向量a，b，计算ab解 理论 i j kab = ab3三角两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半证明关键用表示或用表示 理论 a，b，c构成三角形时， abc如图所示，设a，b，c，则abc，于是cab cabaa说明，且 4以任意三角形的三条中位线为边可做一个三角形证明公式a，b，c构成三角形时，abc如图，设c，a，b，则abc设分别为三边的中点，则a，b ， c ，abc（abc），即，以中位线，为边可作成一个三角形5试证明，
2、以任意三角形的三条中线为边可做一个三角形证明理论a，b，c构成三角形时，abc如图，设c，a，b，则abc设m，n ，l，则以m，n，l为边可作成一个三角形当且仅当mnl在中 mca在中 nab在中 l bc以上三式相加得mnlabcabc于是三条中线构成三角形填空题）在仿射变换下梯形变成（） ）仿射变换把平行四边形变成（） ）仿射变换把三角形中位线变成（）仿射变换把三角形重心变成（）在仿射变换下，矩形变成（）仿射变换把圆变成（）仿射变换把圆心变成（）仿射变换把等腰三角形变成（）解 理论仿射变换性质：仿射变换保持简比不变仿射变换保持平行性仿射变换不保持角度不变答：）梯形）平行四边形）三角形中位
3、线）三角形重心）平行四边形）椭圆）椭圆中心）任意三角形2在实轴上，三点坐标分别为，求三点的单比解 理论用公式3设通过与两点的直线被直线截于点，求单比解 关键 求出交点，用公式 4求使三点，的对应点分别为，的仿射变换式解 关键 仿射变换把点变成时，把所有点带入后，解方程组，求出再代入即可代入三对对应点得解得带入仿射变换式，得到所求的仿射变换式 5求使直线的每个点不变，且把点变成点的仿射变换解 关键 在直线上再任取两点，这两点保持不变，即对应点仍分别是这两点，三对对应点唯一确定一个仿射变换。理论 仿射变换把点变成时，把所有点带入后，解方程组，求出再代入即可设所求的仿射变换为，在直线上任取两点，则所
4、求的仿射变换把三点，分别变成点，将这三对点代入仿射变换式得 解得 因此，所求的仿射变换式为1填空选择题）射影对应把平行四边形变成（）射影对应把矩形变成（）射影对应把梯形变成（）射影对应把三角形中位线变成（）射影对应把三角形中线变成（）解理论）平行性质不是射影性质，在中心投影下会改变）单比不是射影性质，在中心投影下会改变）距离（长度）不是射影性质，在中心投影下会改变）角度不是射影性质，在中心投影下会改变答：）任意四边形）任意四边形）任意四边形）相交于两腰的任意一条直线）过这个顶点和对边上任意一点的直线2设，为三条定直线，为二定点，其连线过，点为上的动点，且直线，分别交，于点，求证：通过上一定点证
5、明关键 这个题目是要证明的连线通过上一定点，属于三线共点问题，只涉及点和直线的结合性，可以利用“射影到无穷远”理论 相交于影消线上的二直线，其象为二平行直线取所在直线为影消线，经过中心投影之后，为无穷远直线，如图2所示， 则，为平行四边形于是 ，所以 因此，与的象交于无穷远点，所以，与相交于上一定点3证明如果两个三角形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点证明理论 笛沙格定理：1如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一条直线上2如果两个三点形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点如图所示，若三点形与的对应边 与的交点，与的交点，与 的交点共线，考虑三点形，由于与，都交于点，由笛
6、沙格定理，三组对应边的交点， ，共线，于是，共线4设，为完全四点形的顶点，（与的交点为），试证： ，共线证明理论 笛沙格定理：1如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一条直线上2如果两个三点形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点如图所示在三角形和中，对应顶点的连线，共点于，由笛沙格定理，对应边的交点，共线5试求出下面各点的齐次坐标（1）以为方向的无穷远点（2）上的无穷远点解 （1）理论 一组直线上的无穷远点的齐次坐标为.于是，以为方向的无穷远点的齐次坐标为（2）理论 与表示同一个无穷远点的齐次坐标，即平行线相交于同一个无穷远点为一组直线上的无穷远点的齐次坐标，因为平行于，所以
7、上的无穷远点为注意 平面内一组平行线相交于同一个无穷远点所以，可以利用来求上的无穷远点6若存在，求下列各点的非齐次坐标；解 关键 利用齐次坐标和非齐次坐标之间的关系，取注意 无穷远点没有非齐次坐标由于的，所以是无穷远点，而无穷远点没有非齐次坐标7求下列各线坐标所表示的直线方程；解关键将线坐标代入直线方程即得到直线方程将代入得直线方程，即同理得到其它线坐标的直线方程，依次为；8求两点与的连线的坐标解关键利用两点与的连线的方程为 两点，的连线的坐标为代入得于是，所求坐标为，或1已知和的齐次坐标分别为和，求直线上一点，使，若，求出解理论利用非齐次坐标与齐次坐标之间的关系，和简比公式这时，设，利用则，
8、解得，解得即，点的齐次坐标为因为，所以 说明），代入点得，运算得，解得，于是）将代入，得，是否矛盾？实际上，与表示同一点的齐次坐标注意以为基点的点列中，任何一点都可以表示为，用齐次坐标可以表示为实际是2已知直线与，求过两直线的交点与点的直线方程解 理论 两直线与的交点为 两点与的连线为 注意两直线与的齐次坐标形式分别为，交点为于是，过点与点的直线方程为 即 ，或 3设三点的坐标分别为，且，求点的坐标解理论 定理4.6，四直线，若，则因为，则由，于是设，已知，于是得，所以 注意 以为基点的点列中，任何一点都可以表示为，用齐次坐标可以表示为4求证，成调和共轭解 注意可以采用非齐次坐标与齐次坐标两种
9、方法解法理论 四点，成调和共轭的充要条件是所以，成调和共轭5设是完全四点形的对边三点形，分别交于，不用笛沙格定理，证明共点证明理论利用定理4.9完全四点形通过每一个对角点有一组调和线束，即通过这个对角点的两边和对角三角形的两边定理4.10完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列，即这条直线上的两个顶点及对角三角形的两个点如图，对四线形，根据定理4.10可知，在对角线边上的四点调和共轭，即在四点形中，与交于，设与交于，由定理4.9可知，过对角点有一组调和线束，即、和、，于是，所以，点应与点重合，即共点6若三角形的三边AB、BC、C A分别通过共线的三点P，Q，R，二顶点与C各在定直线上移动，求证
10、顶点A也在一条直线上移动证明理论利用定理4.15两个射影对应的线束成透视的充要条件是：两个线束的公共线自对应定义4.10若两个线束与同一个点列成透视对应，则称这两个线束成透视对应如图所示，取为透视中心，则，于是在这两个射影线束中，是自对应元素，所以，由定理4.15， ，由定义4.10，两个透视对应的线束对应直线的交点共线，即顶点A也在一条直线上移动1求通过点，的二阶曲线方程解关键把点代入解方程组即可将已知五点的坐标代入上式得 解方程组得 ， ， ， ，所求二阶曲线的方程为，即2求由两个射影线束，决定的二次曲线的方程解关键代入求解即可两个线束可以写成消去，得所求二次曲线为如果化成非齐次形式，只需
11、利用理论利用公式，消去即可如果利用公式，则，即，这就得到了二次曲线的非齐次形式3求点关于 二阶曲线的极线解关键将点及系数代入极线方程即可代入得整理即得所求极线方程4求直线关于的极点解理论利用因为，所以，（为元素的代数余子式），于是即所求极点的坐标为5求二次曲线在点（1，2，1）的切线方程解理论如果点在二次曲线：上，则在这一点的切线方程为即由于，说明点（1，2，1）在二次曲线上因此，所求切线方程为即6求二阶曲线的中心解理论二次曲线的中心为因为于是，因此，中心坐标为，或写成非齐次坐标7求二阶曲线过点的直径解理论二次曲线：的直径为其非齐次坐标形式为注意二次曲线是以非齐次坐标形式给出的，其中， ，代入直径公式的非齐次形式得代入非齐次坐标的点得于是将代入，得直径为填空练习1若向量，首尾相连构成三角形，则_，_2设向量，则的充分必要条件是_ 3. 仿射变换把梯形变成_ 4. 正方形在仿射对应下的象是_5. 仿射变换把菱形变成_
