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1、第二章2.5表2-3为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为 maxz = 5x + 3x，约束形式为，x ,x为松弛变量，表中解代入目标函数后得z = 10。1234表2-3x1x2x3x4x32c011/5x1ade01Gb-1fg(1) 求ag的值；(2) 表中给出的解是否为最优解。解：a=2,b=0,c=0,d=1,e=4/5,f=0,g=5；表中给出的解为最优解。26表2-4中给出某求最大化线性规划问题的初始单纯形表及迭代后的表，x ,x为松 45弛变量，求表中aI的值及各变量下标mt的值。表2-4xxxxx12345xm6bcd10x1-13e01na1-200x
2、、jfg2-11/20x4h11/21tG07jk/解：a=-3,b=2,c=4,d=-2,e=2,f=3,g=1,h=0,i=5,j=-5,k=3/2,l=0 ； 变量的下标为 m4,n5,s1,t6210下述线性规划问题：max 鶯=呂斗 H-4te + 6x+3 -,9眄百+2卫+込+ 3工工 M 1丽(资源“心l+3旳+?芮+q +J7： 270 (资源对工|十3比+2劝+不十壮$荃1B0 资源3、E 鼻 0(j = 1 * 5)已知最优解中的基变量为口虫】应且已知3 13-1-11-3r2 411Ji一&9-327_2 13_L 2-3L0J要求根据以上信息确定三种资源各自的影子价格
3、。 解：由以上信息可以求得该问题的对偶问题的最优解1-11-31 -(48 Yt = C B-1 = x (6,8,9)-69-3=-丄：b27133丿2-310所以三种资源的影子价格分别为4 1 8。3 32.11某单位加工制作100套工架，每套工架需用长为2.9m、.lm和1.5m的圆钢各一根。 已知原材料长7.4m。问如何下料使得所用的原材料最省？解：简单分析可知，在每一根原材料上各截取一根 2.9m,2.lm 和 1.5m 的圆钢做成一套 工架，每根原材料剩下料头0.9m,要完成100套工架，就需要用100根原材料，共剩余90m 料头。若采用套截方案，则可以节省原材料，下面给出了几种可
4、能的套截方案，如表2-5 所 示。表2-5可能的下料方案长 度/mABCDE2.9120102.1002211.531203合计/m7.47.37.27.16.6料头/m00.10.20.30.8实际中，为了保证完成这100 套工架，使所用原材料最省，可以混合使用各种下料方案。设按方案A,B,C,D,E下料的原材料数分别为x1?x2，x3，x4，x5,根据表2-5可以得到下面的线性规划模型min z = 0 x + 0.1x + 0.2 x + 0.3x + 0.8 x12345x + 2 x + x = 1001242 x + 2 x + x = 100St 0,i = 1,2,3,4,5i
5、用大M法求解此模型的过程如表2-6所示，最优解为:：*=(0,40,30,20,0)t,最优值为z*=16。表2-6CjXbBB-MX6100-MX7100-MX100-j160101004M1-0.1+3M2-0.2+4M0-0.3+3M3-0.8+4M100/3-MX6200/35/3-2/3-1-1/3200/3-MX7100100/2-M-0.3-0.1-0.3X6X4X2X450/3501050301/3-0.1+5 M/35/3 1/3-0.1+5 M/32/3-0.2+4M/3-5/32/30.1-5M/3-10-0.3+3M-0.8-3/21/21-0.65-3 M/2-9/1
6、01/213/10-0.741/3-4M/33/5-1/5-M+0.06-1/21/200.153 M/2-3/101/21/10-M+0.12-1/31/3-4M/3-1/52/5-M-0.02150/15100/1求解该问题的 LINGO 程序如下：model:sets:row/1.3/:b;arrange/1.5/:x,c;link(row,arrange):a;endsetsdata:b=100,100,100;c=1,0.1,0.2,0.3,0.8;a=1,2,0,1,0,0,0,2,2,1,3,1,2,0,3;enddatamin=sum(arrange(j):c(j)*x(j);
7、for(row(i):sum(arrange(j):a(i,j)*x(j)=b(i););end运行该程序后，也立即可以得到最优解为：x*=(0,40,30,20,0)T最优值为z*=16。即按方案B下料40根，方案C下料30根，方案D下料20根，共需原材料90根就可以制作完 成 100 套工架，剩余料头最少为 16m。2.13某昼夜服务公交公司的公交线路每天各时段内所需要司机和乘务人员如表2-9所示。班次时间所需人数班次时间所需人数16:00-10:0060418:00-22:0050210:00-14:0070522:00-2:0020314：00-18：006062:00-6： 0030
8、设司机和乘务人员分别在各时段开始时上班并连续工作8 小时。问该公司公交线路应如何安 排司机和乘务人员，使得既能满足工作需要，又使配备的总人数最少？(本科生仅需建立问 题的数学模型)解：设x.为安排从第i班次开始时上班的人数，则该问题的数学模型为min z =工 6 xii=1 ix + x 606 1x + x 7012x + x 60s.t.23 5034x + x 204 5x + x 305 6x 0, i = 1,2,.,6i求解此模型得到最优解：x* = (40,30,30, 20,0,30) T , z* =150。2.18现有线性规划问题max z = -5 x + 5 x +
9、13x123x + x + 3x W 20123s.t i 12x + 4x +10x 0123先用单纯形法求出最优解，然后分析在下列各种条件下，最优解分别有什么变化？(1) 约束条件的右端项系数由20变为30；(2) 约束条件的右端项系数由90变为70；(3) 目标函数中x的系数由13变为8；3解：在上述LP问题的第、个约束条件中分别加入松弛变量x4,x5得 max z = 5 x + 5 x +13 x + 0 x + 0 x12345x + x + 3x + x = 201234s. i 12 x + 4 x +10 x + x = 901235x , x , x , x , x 012
10、345列出此问题的初始单纯形表并进行迭代运算，过程如表2- 1 2所示。表 2-12c-551300eiCjXbxxxxxBB123450X420-113 1020/30x90124100195G-55130013jX320/3-1/31/3 11/30200x70/346/32/30-10/31355G-2/32/30-13/305jX220-113100x10160-2-415G00-2-50由表2-12中的计算结果可知，LP问题的最优解X*=(0,20,0,0,10)T z*=5*20=100。(1)约束条件的右端项系数由20变为30,则有1 030-4 1_90_Bib =30-30_
11、列出单纯形表，并利用对偶单纯形法求解，过程如表2-13所示。表 2-13c-551300jCXbxxxxxBB123455x30-1131002X-30160-2 -415G00-2-505x2-152310-5 3/213x15-8012-1/23G-1600-1-10Jx43-23/5-1/501-3/1013x96/52/5101/103G-103/5-1/500-13/10由表2-13中计算结果可知，LP问题的最优解变为X* = (0,0,9,3,0) t, z* = 13x9 = 117。(2)约束条件的右端常数由90变为70,则有20、-10 丿(1B-1b =1-4列出单纯形表，并利用对偶单纯形法求解，结果如表2-14 所示。由表2-14结果知，LP问题的最优解变为X* = （0,5,5,0,0） t, z* = 5x5 +
