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1、江苏省响水中学高中数学 第二章分段函数与值域的求法导学案 苏教版必修11.根据函数图象或基本函数的性质计算函数的值域.2.通过具体实例,了解分段函数的概念和意义,会求分段函数的值,绘制分段函数的图象和求分段函数的值域.3.掌握一些基本函数图象的变换、培养分析问题和解决问题的能力.从A地到B地首先经过一段路程为5 km的下坡路,再经过一段路程为4 km的上坡路,最后经过一段路程为10 km的平路,某同学骑自行车从A地到B地,下坡路的骑车速度为30 km/h,上坡路的骑车速度12 km/h,平路的骑车速度为20 km/h,则该同学骑车从A地到B地的行驶时间t(h)关于行驶的路程S(km)的函数关系
2、式为S=S(t).问题1:(1)该同学下坡路的行驶时间为h,上坡路的行驶时间为h,平路的行驶时间为h,从A地到B地总共所用的时间为h.(2)当0t时,S(t)=;当t时,S(t)=;当0)个单位可得函数的图象;将函数y=f(x)的图象向右平移a(a0)个单位可得函数的图象;将函数y=f(x)的图象向上平移b(b0)个单位可得函数的图象;将函数y=f(x)的图象向下平移b(b0)个单位可得函数的图象.简记为“”.(2)对称变换函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于对称;函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于对称;函数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图象关于对称.(3)翻折变换
3、函数y=f(|x|)的图象可以将函数y=f(x);函数y=|f(x)|的图象可以将函数y=f(x).1.已知函数f(x)=4x2-3,x-1,0,1,则它的值域为.2.下列函数中的f(x)与g(x)是相等函数的序号是.f(x)=x,g(x)=()2 ;f(x)=x2,g(x)=;f(x)=1,g(x)=x0 ;f(x)=|x|,g(x)=3.设函数f(x)=则f(-4)=,又知f(x0)=8,则x0=.4.作出函数y=2x2-4x-3(0x3)的图象,并根据图象求出函数的值域.分段函数的求值问题已知函数f(x)=(1)求f(1-),f(f(f(-2)的值;(2)求f(3x-1)的解析式;(3)
4、若f(a)=,求a的值.求函数的值域(1)求函数y=2x+1(x1,2,3,4,5)的值域.(2)求函数y=的值域.(3)求函数y=的最大值.分段函数的应用某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的80%出售;同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案相应获得第二次优惠:消费金额(元)的范围200,400)400,500)500,700)700,900)第二次优惠金额(元)3060100150根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠,例如:购买标价为600元的商品,则消费金额为480元,480400,500),所以获得第二次优惠金额为60元,获得的优惠总额为:6000.2+
5、60=180(元).设购买商品的优惠率=.试问:(1)购买一件标价为1000元的商品,顾客得到的优惠率为多少?(2)设顾客购买标价为x元(x250,1000)的商品获得的优惠总额为y元,试建立y关于x的函数关系式.设函数f(x)=若f(a)=4,则实数a=.求下列函数的值域.(1)y=+3;(2)y=.某汽车以52 km/h的速度从A地运行到260 km远处的B地,在B地停留1.5 h后,再以65 km/h的速度返回A地,试将汽车离开A地后行驶的路程s表示为时间t的函数.1.已知函数f(x)=则f(f(-7)=.2.关于函数f(x)=:f(x)在定义域内单调递减;f(x)在x(-1,0)上有最
6、大值为-1;当x(-,-11,+)时,f(x)的值域为-1,0)(0,1,其中说法正确的是.3.函数y=的定义域为.4.作出函数y=的图象,并求其值域.(2012年江西卷)设函数f(x)=则f(f(3)等于().A. B.3 C. D.考题变式(我来改编):第3课时分段函数与值域的求法知识体系梳理问题1:(1)1(2)30t12t+320t-1问题2:解析式一个并集并集问题3:(1)y=f(x+a)y=f(x-a)y=f(x)+by=f(x)-b左加(+)右减(-),上加(+)下减(-)(2)y轴x轴原点(3)保留y轴右边的图象,并复制右边部分翻折到y轴左边(去掉y轴左边部分)得到位于x轴下方
7、的图象翻折到x轴的上方,并保留x轴上方的部分得到基础学习交流1.1,-3因为f(-1)=1,f(0)=-3,f(1)=1,所以函数的值域为1,-3.2.选项中f(x)的定义域为R,而选项中g(x)的定义域为0,+),选项中g(x)的定义域为(-,0)(0,+).只有选项相同.3.18-或4由于-42),分别解得x0=-或x0=4.4.解:0x3,这个函数的图象是抛物线y=2(x-1)2-5介于0,3)之间的一段弧,如图所示.由图象可以看出,函数在0,3)上的值域为-5,3).重点难点探究探究一:【解析】(1)1-=1-(+1)=-1,即x时,f(3x-1)=1+=;当-13x-11,即0x时,
8、f(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2;当3x-1-1,即x1时,f(a)=1+=,a=21;当-1a1时,f(a)=a2+1=,a=-1,1;当a-1(舍去).综上,a=2或a=.【小结】求分段函数值的方法:先确定要求值的自变量属于哪个区间,然后代入该段的解析式求值;已知函数值求字母取值的步骤:(1)对字母的取值范围进行分类讨论;(2)代入到不同的解析式中;(3)通过解方程求出字母的值;(4)检验所求值是否在所讨论的区间内.探究二:【解析】(1)将自变量x的值逐一代入,计算可得y3,5,7,9,11.(2)因为y=1,所以函数的值域为1,+).(3)画出函数f(x)的图象(如图
9、):由图象可知,当x=1时,f(x)取最大值,最大值为f(1)=4,故函数f(x)的最大值为4.【小结】求分段函数的最值有两种方法:分别求出各段上的最值,再比较即得函数的最大、最小值.(本题(3)也可用此法)画出分段函数的图象,观察图象的最高点与最低点,并分别求其纵坐标即得函数的最大、最小值.探究三:【解析】(1)标价为1000元的商品消费金额为800元,获得奖券150元,优惠额为350元,所以优惠率为0.35.(2)y=【小结】(1)求分段函数的解析式,应注意“先分后合”,根据不同区间写出相应函数的解析式,最后再合并.注意分段函数是一个函数,而不是几个函数.(2)分段函数是实际问题中常用的一
10、种函数模型.思维拓展应用应用一:-4或2当a0时,由-a=4,得a=-4;当a0时,由a2=4,得a=2(a=-2舍去).综上a=-4或2.应用二:(1)0,+33,函数的值域为3,+).(2)x20,x2+11,01.0y2,即函数的值域为(0,2.应用三:因为26052=5(h),26065=4(h),所以,当0t5时,s=52t;当5t6.5时,s=260;当6.5t10.5时,s=260+65(t-6.5)=65t-162.5.所以s=基础智能检测1.100f(-7)=10,f(f(-7)=f(10)=100.2.f(x)在(-,0)和(0,+)内单调递减,不对;f(x)在x(-1,0)时单调递减,而f(x)在x=-1时无定义,故无最大值,不对;显然正确.3.(-,0)(0,+)每段函数自变量的取值范围的并集是分段函数的定义域,即(-,0)(0,+).4.解:当0x1时,y=的图象是双曲线的一部分.当x1时,图象为直线y=x的一部分.如图所示,由此可知,函数的值域为1,+).全新视角拓展Df(3)=,f(f(3)=()2+1=.思维导图构建解析式
