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1、专题：解三角形解答题1.【A】在b、c，向量，且。（I）求锐角B的大小； （II）如果，求的面积的最大值。 (1)解：mn 2sinB(2cos21)cos2B2sinBcosBcos2B tan2B02B,2B,锐角B(2)由tan2B B或当B时，已知b2，由余弦定理，得：4a2c2ac2acacac(当且仅当ac2时等号成立)ABC的面积SABC acsinBacABC的面积最大值为当B时，已知b2，由余弦定理，得：4a2c2ac2acac(2)ac(当且仅当ac时等号成立)ac4(2)ABC的面积SABC acsinBac2ABC的面积最大值为21.【B】在ABC中，角A、B、C所对的
2、边分别是a，b，c，且 （1）求的值；（2）若b=2，求ABC面积的最大值解：(1) 由余弦定理：conB=sin+cos2B= -（2）由 b=2， +=ac+42ac,得ac,SABC=acsinB(a=c时取等号) 故SABC的最大值为2.【A】已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_【解析】由正弦定理得(2b)(ab)(cb)c，即(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，所以cos A，又A(0，)，所以A，又b2c2a2bc2bc4，即bc4，故SABCbcsin A4，当且仅当
3、bc2时，等号成立，则ABC面积的最大值为.2.【B】 ABC的内角A，B，C的对边分别为，已知(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值【解析】(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由和C(0，)得sin Bcos B.又B(0，)，所以B(2)ABC的面积S.由已知及余弦定理得.又，故，当且仅当时，等号成立因此ABC面积的最大值为.3.【AB】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （I）求cosB的值； （II）若，且，求b的值.解：（I）由正弦定理得，因此
4、6分 （II）解：由，所以ac4.【AB】在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c =，且(1) 求角C的大小； （2）求ABC的面积.解：(1) A+B+C=180 由 整理，得解 得： 5分 C=60 （2）解：由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC，即7=a2+b2ab 由条件a+b=5得 7=253ab 5.【AB】在ABC中，已知AB2，AC3，A60.(1)求BC的长；(2)求sin 2C的值【解析】(1)由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos A492237，所以BC.(2)由正弦定理知，所以sin Csin A.因为ABBC，所以C为锐
5、角，则cos C.所以sin 2C2sin Ccos C2.6.【A】在中，已知,判断该三角形的形状。【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。由正弦定理，即知由，得或即为等腰三角形或直角三角形6.【B】在中，分别为内角的对边，且（）求的大小；（）若，试判断的形状.解：（）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故 （）由（）得又，得因为，故所以是等腰的钝角三角形。7.【A】在ABC中，已知，且cos(AB)cos C1cos 2C.(1)试确定ABC的形状；(2)求的取值范围解：(1)在ABC中，设其外接圆半径为R，根据正弦定理得，sin A，sin B，代入，得，所以b2a2ab.因为
6、cos(AB)cos C1cos 2C，所以cos(AB)cos(AB)2sin2C，所以sin Asin Bsin2C.由正弦定理，得，所以abc2.把代入得，b2a2c2，即a2c2b2.所以ABC是直角三角形(2)由(1)知B，所以AC，所以CA.所以sin Csincos A.根据正弦定理，得sin Acos Asin.因为0A，所以A.所以sin1，所以1sin，即的取值范围是(1， 7.【B】.已知的三个内角所对的边分别为a，b，c，向量，,且.()求角的大小；()若，判断的形状8.【AB】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos
7、B；(2)若ac6，ABC的面积为2，求b.解：(1)由题设及ABC得sin B8sin2，即sin B4(1cos B)，故17cos2B32cos B150，解得cos B或cos B1(舍去)(2)由cos B，得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，则ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624.所以b2.9.【AB】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积解：(1)由已知可得tan A，所以A.在ABC中，由
8、余弦定理得284c24ccos ，即c22c240.解得c4(负值舍去)(2)由题设可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD的面积与ACD的面积的比值为1.又ABC的面积为42sin2，所以ABD的面积为.10.【AB】已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若点为边的中点，求面积的最大值.即，.又由为的内角，故而，所以，又由为的内角，故而.（2）因为点为边的中点，故而，两边平方得，又由（1）知，设，即，所以，即，当且仅当时取等号.又，故而当且仅当时，取到最大值.11.【A】在中，角所对的边为,且满足（I）求角的值；（II）若且，求的取值范围解：（1）由已知得 ， 化简得 故 （2）因
9、为，所以， 由正弦定理，得a=2sinA,c=2sinC，因为，所以，所以 11.【B】在中，且（1）求证：为直角三角形 （2）若外接圆的半径为，求的周长的取值范围（1）由，且得，由正弦定理得，由余弦定理得整理得又由于，故，即是直角三角形（或者：由得，化简得，由于，故，即是直角三角形）（2）设内角所对的边分别为由于外接圆的半径为，所以，所以又，故，因而故即的周长的取值范围为12.【AB】在中所对的边分别为，已知（1）若，求实数的值（2）若，求面积的最大值。（1）由两边平方得即，解得由得即，所以（2）由（1）知，则，又，所以，即，故13.【A】如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，AB2，BD
10、，BCD2ABD，ABD的面积为2.(1)求AD的长；(2)求CBD的面积解：(1)由已知SABDABBDsinABD2sinABD2，可得sinABD，又BCD2ABD，所以ABD，所以cosABD.在ABD中，由余弦定理AD2AB2BD22ABBDcosABD，可得AD25，所以AD.(2)由ABBC，得ABDCBD，所以sinCBDcosABD.又BCD2ABD，所以sinBCD2sinABDcosABD，BDCCBDBCD2ABDABDCBD，所以CBD为等腰三角形，即CBCD.在CBD中，由正弦定理，得CD，所以SCBDCBCDsinBCD.13.【B】如图所示，在四边形ABCD中，
11、D=2B，且AD=1，CD=3，（1）求ACD的面积；（2）若，求AB的长【答案】（1）；（2）AB=414.【AB】如图，是等腰直角三角形，,点在边的延长线上，且， . （1）求的值； （2）求的长.解：（1）因为为等腰直角三角形，所以，又，所以， 在中，由正弦定理得，即（2） 设，则，在中：，即，即15.【A】已知角是三个内角，是各角的对边，向量，且（1）求的值。（2）求的最大值。解析：由，且得，所以，即，所以（2）由余弦定理得，而即有最小值，又，所以有最大值（当且仅当时取等号）所以的最大值为15.【B】在中，角的对边分别为，且成等差数列。（1）求的大小。（2）若，求周长的取值范围。解析：（1）由题意知，由正弦定理得所以，于是（2）由正弦定理，所以又由得，所以。
