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1、变出精彩 激活思维 -三角形角平分线性质与判定例习题教学案例襄阳市襄城区第25中学 易文静一、教学目标（一）知识与技能1.熟练掌握角的平分线的性质与判定定理；2.会利用角的平分线的性质与判定进行证明与计算.（二）过程与方法在应用角的平分线的性质与判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.（三）情感、态度与价值观在应用角的平分线的性质与角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.二、教学重点、难点重点：角平分线的性质、判定的辨析，以及熟练运用。；难点：通过习题进一步辨析角平分线的性质、判定
2、，并进行熟练地运用三、教法学法自主探索,合作交流的学习方式.四、教学过程（一） 复习、回顾（多媒体投影）角平分线的性质定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线的性质定理几何语言： OC平分BOA, PDOA ，PEOB PB=PD 2角平分线的判定定理: 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上角平分线的判定定理几何语言： PDOA ，PEOB且PE=PD OC平分BOA母题：新人教版八上教材P50的例题如图, ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F BM是ABC的角平分线,点P在BM上,PD
3、=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等)同理,PE=PF.PDPE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等变式1如图所示，已知ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分BAC？请说明理由由此题你能得到一个什么结论？分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段 解：AP平分BAC结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、DBM是ABC的角平分线且点P在BM上，PDPE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PFPE，PDPFAP平分BAC（到
4、角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）变式2将变式1中的两内角平分线变成两外角平分线如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBCFGFM又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBC FMFH FGFH点F在DAE的平分线上在学生由相应的思想方法即“作垂线、证相等”的通法解决以上题目后，紧接着带领学生回头再探教材P2911题有关角平分线的夹角问题，将前后知识进行串联。命题如图，点D是ABC两个内角平分线的交点，则（1）BDC =90+A（2）AD平
5、分BAC证明：如图：21ABC，2ACB，2122A18012BDC=180得：12ABDC由得：12=180BDC把代入得：180BDCABDCBDC =90+A点评 （1）利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180，学生在此前已进行过证明.（2）由例题变式1学生能熟练进行推理以下变式在学生独立思考的基础上以小组合作互学的方式达成学习目标。然后用多媒体进行展示：变式1 :如图，点D是ABC两个外角平分线的交点，则（1）D=90A（2）AD平分BAC证明：如图：DB和DC是ABC的两条外角平分线，D=18012=180（DBE+DCF）=180（A+4+A+3）=180 （A+180）=18
6、0 A90=90 A；点评 （1）利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180，可以证明.（2）由例题变式2学生再次获得成功体验变式2 :如图3，点E是ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则（1）E=A（2）AE是ABC的外角平分线.证明：如图3：1=2，3=4，A+21=241+E=4代入得：E=A点评 （1）利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.（2）的证明通过联想例题变式2也不难获得证明证明：如图4：过点E作EHBA交BA的延长线于H，EFBD于F，EGAC于GBE是ABC的平分线,可得：EH=EFC
7、E是ACD的平分线, 可得：EG=EF过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EHEG=EHAE是ABC的外角平分线 点评 （2）利用角平分线的性质和判定能够证明熟悉和掌握以上题目的结论就能通过类比联想轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来试试看练习1如图5，PB和PC是ABC的两条外角平分线已知A=60，请直接写出P的度数是 .三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于 三角形？解析：由命题1的变式1的结论直接得：P=90 A=90 60=60根据命题命题1的变式1的结论P=90 A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个
8、角都是锐角，则该三角形是锐角三角形点评 此题直接运用命题2的结论很简单同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形练习 如图6，在ABC中，延长BC到D,ABC与ACD的角平分线相较于点，BC与CD的平分线交与点，以此类推，若A=96，则= 度解析：由命题1的变式2的结论不难发现规律A可以直接得：=96=3点评此题是要找出规律的，但要有命题的变式2的结论作为基础知识练习如图7，ABC的外角ACD的平分线CP的内角ABC平分线BP交于点P，若BPC=40，则CAP=_解析：此题直接运用命题1的变式3的结论可以知道是ABC的一个外角平分线，结合命题1的变式2的结论知道BAC=2BPC
9、, CAP=(180BAC )= (1802BPC )=50点评若熟悉命题1的变式1和2的结论解决此题易如反掌，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目练习4如图，在RtABC中，ACB=90，BAC=30，ACB的平分线与ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则AEB= 度解析：由题目和命题1的变式3的结论可以知道AE是ABC的一个外角平分线, 结合命题1的变式1的结论知道AEB=ACBACB=9090=45点评 从上面的做题过程来看题目中给出的“A=30”这个条件是可以不用的（以上四个练习课堂上未解决完的留作作业继续探究）小结：数学学习离不开解题，但不能陷入题海，不能让学生成为
10、解题的机器.对做过的题目要进行反思总结，并站在一定的高度加以审视，从中发掘题目的精髓，看清问题的本质，对数学有思有悟，这样，学生才能从更高的观点，用更宽的视野，更理性的眼光，去思考解决数学问题，让数学课堂不断出新出奇出彩.因此教师要引导学生充分挖掘教材的例习题之间的内在联系，使之形成习题串，由此及彼，举一反三，不仅激发学生探究的激情，也培养了学生的思维能力，真正实现了让数学课堂例习题教学真实高效.不足之处的反思 教学过程应注重师生互动，学会从学生的角度思考问题，与学生共同交流解题思路，及时发现学生中的典型解法与典型错误，教师也应在课堂上适时地进行“诱错”、“示错”，然后引导学生进行“辨错”、“
11、识错”、“明错”、“改错”，让学生从“错误”走向“正确”.教师应深深地意识到，“错误”与“正确”都是教学上的重要资源.不应对学生产生的错误思路进行简单的否决，而应该将错就错，错中求正，败中求胜，有效防止类似错误的再次发生，提高解题正确率.通过这堂课，感觉自身的课堂教学还有很多地方有待于改进和完善。尤其是对课堂语言的锤炼，不仅仅是表达清楚，更要言简意赅，把更多的时间留给学生，让学生在课堂上有更多的时间去思考。还要注意，发挥学生的主体性不应停留在口头上，还要在实际操作时充分体现教师是学生学习的引导者，学生是学习的真正的主人。更要在实际教学中始终贯彻先学后教的模式，更好地培养学生的合作精神与个人能力。
