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1、word二次函数恒成立问题2016年8月某某莞美学校一、恒成立问题的根本类型：类型1：设，1上恒成立；2上恒成立。类型2：设1当时，上恒成立，上恒成立2当时，上恒成立上恒成立类型3：。类型4：二、恒成立问题常见的解题策略：策略一：利用二次函数的判别式 对于一元二次函数有：1上恒成立；2上恒成立的解集是R，求m的X围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。1当m-1=0时，不等式化为20恒成立，满足题意；2时，只需，所以，。策略二:利用函数的最值或值域1对任意x都成立；2对任意x都成立。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的
2、。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。，假如恒成立，求a的取值X围. 解析 此题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意.假如恒成立或或，即a的取值X围为.策略三：利用零点分布，假如恒成立，求a的取值X围.解析 此题可以考虑f(x)的零点分布情况进展分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即0或或，即a的取值X围为-7，2.点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x轴的上方或在x轴上就行了.Oxyx-1变式：设，当时，恒成立，某某数的取值X围。解：设，如此当时，恒成立当
3、时，显然成立；当时，如图，恒成立的充要条件为：解得。综上可得实数的取值X围为。策略四：别离参数法假如所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元别离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数X围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1恒成立2恒成立例4.函数，假如对任意，恒成立，某某数的取值X围。解：假如对任意，恒成立，即对，恒成立，考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得在时恒成立，只要在时恒成立。而易求得二次函数在上的最大值为，所以。变式：函数时恒成立，某某数的取值X围。解： 将问题转化为对恒成立。令，如此由可知在上为减函数，故即的取值X围为。注：别离参
4、数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。策略五：确定主元在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量看成是主元未知数，而把另一个变量看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把取值X围的变量作为主元，把要求取值X围的变量看作参数，如此可简化解题过程。对满足的所有都成立，求x的X围。解析：我们可以用改变主元的方法，将m视为主变元，即将元不等式化为：，；令，如此时，恒成立，所以只需即，所以x的X围是总结：利用了一次函数有：变式：对任意，不等式恒成立，求的取值X围。分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但假如把看成主元，如此问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。解：令，如此原问题转
5、化为恒成立。 当时，可得，不合题意。当时，应有解之得。故的取值X围为。策略六：消元转化f(x)是定义在-1,1上的奇函数,且f(1)=1,假如，假如对于所有的恒成立，某某数t的取值X围. 解析 此题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f(x)是定义在-1,1上的增函数,故 f(x)在-1,1上的最大值为f(1)=1,如此对于所有的恒成立对于所有的恒成立，即对于所有的恒成立，令，只要， 点评 对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进展消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决.以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略，只
6、是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数的取值X围。事实上，这些策略不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决。三、 巩固练习1.1假如关于的不等式的解集为，某某数的取值X围；2假如关于的不等式的解集不是空集，某某数的取值X围解：1设.如此关于的不等式的解集为在上恒成立,即解得2设.如此关于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或.2. 假如函数在R上恒成立，求m的取值X围。分析：该题就转化为被开方数在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论。略解：要使在R上恒成立，即在R上恒成立。时，成立时，由，可知，3. 向量假如函数在区间上是增函数，求t的取值X
7、围.解：依定义在区间上是增函数等价于在区间上恒成立;而在区间上恒成立又等价于在区间上恒成立;设进而在区间上恒成立等价于考虑到在上是减函数,在上是增函数,如此.于是, t的取值X围是.4. 函数，其中是的一切的值，都有，某某数的取值X围；，这一问外表上是一个给出参数的X围，解不等式的问题，实际上，把以为变量的函数，改为以为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即 令，如此对，恒有，即，从而转化为对，恒成立，又由是只需 即解得.故时，对满足的一切的值，都有.由知,于是,不等式的解为.但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑的条件,还应进一步完善.为此,设.不等式化为恒成立,即.由于在上是增函数,
8、如此,在上是减函数,如此所以, .故时，对满足的一切的值，都有.5. 假如对任意的实数，恒成立，求的取值X围。解法一：原不等式化为令，如此，即在上恒大于0。假如，要使，即，不存在假如，假如使，即假如，要使，即，由，可知，。解法二：，在上恒成立。由，可知，。6. 函数对于一切成立，求a的取值X围。7. 函数对于恒成立，求m的取值X围。8. 假如不等式在内恒成立，求a的取值X围。的定义域为R，某某数的取值X围。解：由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有解得。所以实数的取值X围为。，假如对任意恒有，试确定的取值X围。解：根据题意得：在上恒成立，即：在上恒成立，设，如此 当时， 所以时，不等式恒成立，求的取值X围。解：令， 所以原不等式可化为：，要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可。 /
