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1、word第十章 曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质与两类曲线积分的关系。2.掌握计算两类曲线积分的方法。3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。【教学重点】1.两类曲线积分的计算方法；2.格林公式与其应用；3. 第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】1.两类曲线积分的关系与第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式与其应用格林公式计算对坐
2、标的曲线积分；【参考书】1同济大学数学系.高等数学下，第五版.高等教育.2 同济大学数学系.高等数学学习辅导与习题选解，第六版.高等教育.3同济大学数学系.高等数学习题全解指南下，第六版.高等教育11.1 对弧长的曲线积分一、 对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面的一段曲线弧L上,曲线形构件在点(x,y)处的线密度为m(x,y). 求曲线形构件的质量. 把曲线分成n小段,Ds1,Ds2,Dsn(Dsi也表示弧长);任取(xi,hi)Dsi, 得第i小段质量的近似值m(xi,hi)Dsi; 整个物质曲线的质量近似为; 令l=maxDs1,Ds2,Dsn
3、0, 如此整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.定义 设函数f(x,y)定义在可求长度的曲线L上,并且有界.，将L任意分成n个弧段:Ds1,Ds2,Dsn,并用Dsi表示第i段的弧长;在每一弧段Dsi上任取一点(xi,hi),作和;令l=maxDs1,Ds2,Dsn,如果当l0时,这和的极限总存在,如此称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段.曲线积分的存在性:当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时,对弧长的曲线积分是存在的. 以后我们总假定f(x,y)在L上是连续的.根据对弧长的曲线积分
4、的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分的值, 其中m(x,y)为线密度.对弧长的曲线积分的推广:. 如果L(或G)是分段光滑的, 如此规定函数在L(或G)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1与L2,如此规定.闭曲线积分:如果L是闭曲线,那么函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 .对弧长的曲线积分的性质:性质1 设c1、c2为常数, 如此; 性质2 假设积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2, 如此; 性质3设在L上f(x,y)g(x,y), 如此.特别地, 有二、对弧长的曲线积分的计算法 根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L
5、的线密度为f(x,y), 如此曲线形构件L的质量为 . 另一方面,假设曲线L的参数方程为x=j(t),y=y (t) (atb),如此质量元素为,曲线的质量为.即.定理设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为x=j(t),y=y(t) (atb),其中j(t)、y(t)在a,b上具有一阶连续导数,且j2(t)+y2(t)0,如此曲线积分存在,且(ab).应注意的问题:定积分的下限a一定要小于上限b.讨论:(1)假设曲线L的方程为y=y(x)(axb),如此=?提示:L的参数方程为x=x,y=y(x)(axb),. (2)假设曲线L的方程为x=j(y)(cyd),如此=?提示:L的
6、参数方程为x=j(y),y=y(cyd),. (3)假设曲G的方程为x=j(t),y=y(t),z=w(t)(atb),如此=? 提示:. 例1计算,其中L是抛物线y=x2上点O(0, 0)与点B(1, 1)之间的一段弧.解曲线的方程为y=x2 (0x1),因此.例2计算半径为R、中心角为2a的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为m=1).解取坐标系如下列图,如此.曲线L的参数方程为x=Rcosq,y=Rsinq (-aqa).于是=R3(a-sina cosa).例3 计算曲线积分,其中G为螺旋线x=acost、y=asint、z=kt上相应于t从0到达2p的一段弧.解 在曲线G上有
7、x2+y2+z2=(a cos t)2+(a sin t)2+(kt)2=a2+k 2t 2,并且,于是 .小结用曲线积分解决问题的步骤: (1)建立曲线积分; (2)写出曲线的参数方程( 或直角坐标方程) ,确定参数的变化围; (3)将曲线积分化为定积分;(4)计算定积分.教学方式与教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意曲线积分解决问题的步骤，要结合实例，反复讲解。师生活动设计周长为a，求。与所围成区域的边界，求讲课提纲、板书设计作业 P190: 3135711. 2 对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功:设一个质点在xOy面在变力F(x,y)=P(x,y)i
8、+Q(x,y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,试求变力F(x,y)所作的功.用曲线L上的点A=A0,A1,A2,An-1,An=B把L分成n个小弧段,设Ak=(xk,yk),有向线段的长度为Dsk,它与x轴的夹角为tk,如此(k=0, 1, 2,n-1).显然,变力F(x,y)沿有向小弧段所作的功可以近似为;于是,变力F(x,y)所作的功,从而.这里t=t(x,y), cost, sint是曲线L在点(x,y)处的与曲线方向一致的单位切向量.把L分成n个小弧段:L1, L2, Ln;变力在Li上所作的功近似为:F(xi,hi)Dsi=P(xi,hi)Dxi+Q(xi,hi)Dyi;
9、变力在L上所作的功近似为:; 变力在L上所作的功的准确值:,其中l是各小弧段长度的最大值.提示: 用Dsi=Dxi,Dyi表示从Li的起点到其终点的的向量.用Dsi表示Dsi的模.对坐标的曲线积分的定义:定义 设函数f(x,y)在有向光滑曲线L上有界.把L分成n个有向小弧段L1, L2, Ln;小弧段Li的起点为(xi-1,yi-1),终点为(xi,yi),Dxi=xi-xi-1,Dyi=yi-yi-1; (xi,h)为Li上任意一点,l为各小弧段长度的最大值.如果极限总存在,如此称此极限为函数f(x,y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,记作,即,设L为xOy面上一条光滑有向曲线, cost
10、, sint是与曲线方向一致的单位切向量,函数P(x,y)、Q(x,y)在L上有定义.如果如下二式右端的积分存在,我们就定义,前者称为函数P(x,y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,后者称为函数Q(x,y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分,对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分.定义的推广:设G为空间一条光滑有向曲线, cosa, cosb, cosg是曲线在点(x,y,z)处的与曲线方向一致的单位切向量,函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在G上有定义.我们定义(假设各式右端的积分存在),.,.对坐标的曲线积分的简写形式:;.对坐标的曲线积分的性质:(1) 如果把L分成L1
11、和L2,如此. (2) 设L是有向曲线弧,-L是与L方向相反的有向曲线弧,如此.两类曲线积分之间的关系: 设costi, sinti为与Dsi同向的单位向量,我们注意到Dxi,Dyi=Dsi, 所以Dxi=costiDsi,Dyi=sintiDsi,.即 ,或.其中A=P,Q,t=cost, sint为有向曲线弧L上点(x,y)处单位切向量,dr=tds=dx,dy.类似地有,或 .其中A=P,Q,R,T=cosa, cosb, cosg为有向曲线弧G上点(x,y,z)处单们切向量,dr=Tds=dx,dy,dz ,At为向量A在向量t上的投影.二、对坐标的曲线积分的计算:定理:设P(x,y)
12、、Q(x,y)是定义在光滑有向曲线L:x=j(t),y=y(t),上的连续函数,当参数t单调地由a变到b时,点M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点B,如此,.讨论:=？提示:.定理: 假设P(x,y)是定义在光滑有向曲线L: x=j(t),y=y(t)(atb)上的连续函数,L的方向与t的增加方向一致,如此.简要证明: 不妨设ab.对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为j(t),y(t),所以,从而.应注意的问题:下限a对应于L的起点,上限b对应于L的终点,a不一定小于b.讨论:假设空间曲线G由参数方程x=j(t),y =y (t),z=w(t)给出,那么曲线积分=？如何计算？?提示:,其中
13、a对应于G的起点,b对应于G的终点.例题:例1.计算,其中L为抛物线y2=x上从点A(1,-1)到点B(1, 1)的一段弧.例2.计算.(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2;(2)从点A(a, 0)沿x轴到点B(-a, 0)的直线段. 例3 计算. (1)抛物线y=x2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧; (2)抛物线x=y2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧; (3)从O(0, 0)到A(1, 0), 再到R (1, 1)的有向折线OAB. 例4.计算,其中G是从点A(3, 2, 1)到点B(0, 0, 0)的直线段. 例5.设一个质点在M(x,y)处受到力F
14、的作用,F的大小与M到原点O的距离成正比,F的方向恒指向原点.此质点由点A(a, 0)沿椭圆按逆时针方向移动到点B(0,b),求力F所作的功W.小结1.第二类曲线积分的定义；2. 第二类曲线积分的计算方法。教学方式与教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意第二类曲线积分的定义和计算方法，要结合实例，反复讲解。师生活动设计1. 为折线ABCOA，计算讲课提纲、板书设计作业 P200: 31357，411.3 格林公式与其应用一、格林公式单连通与复连通区域:设D为平面区域,如果D任一闭曲线所围的局部都属于D,如此称D为平面单连通区域,否如此称为复连通区域.对平面区域D的边界曲线L, 我们规定L的正向如下:当观察者沿L的这个方向行走时,D在他近处的那一局部总在他的左边.区域D的边界曲线的方向:定理1设闭区域D由分段光滑的曲线围成,函数P(x,y)与Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,如此有,其中L是D的取正向的边
