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1、关于内心、重心等坐标系及其应用的探讨三角形的“四心”即外心、内心、重心和垂心是三角行的四个重要的特殊点，本文主要是对“四心”中的内心、重心的一些特征和性质进行探讨。一、“两心”的特征内心为三内角平分线的交点，重心为三中线的交点，我们知道两直线相交于一点是显然的，但对于三直线来讲，三线共点并非显然，那么这三条直线是否恰好相交于一点呢？以下用高等几何方法证明了三角形的三内角平分线、三中线确实是共点的。(1)内心证明：设:ABC的两边角A、角B的角平分线相交于点0，设0到三边的距离分别是0D、0E和OF，则由条件知OD=0E,0E=0F，所以OD=OF。因而0也在角C的角平分线上，即三内角平分线共点
2、。(2)重心证明:FE如图，设D,E,F分别为ABC三边BC,AC,AB的中点。考虑DEF与ABC，易知DE,EF,FD分别平行AB,BC,CA,所以其对应边皆交于无穷远点，从而共于无穷远直线。于是由萨德格定理知其对应定点的连线共点，即为重心0。、“两心”的坐标表示(1)设I为AABC的内心，其中A(xyj,B(x2,y2),C(x3,y3)，则内心I的坐标为a%bx2cx3abcayiby?cy?abc证明:证明:如图，设AD，BE为角平分线，由角平分线定理知，BD:DC二C：b，代入分点坐标A公式得D点坐标为(bX2CX3,by2Cy3)，由梅涅劳斯定理得,b+cb+cDI:IA=a:(b
3、c)，再运用分点公式即得到内心坐标axbx?CX3ayiby?w、I(,)。a+b+ca+b+c(2)设G为ABC的重心，其中A(%,yi),B(x?,y2),C(X3,y3)，则重心G的坐标x1G(亠x1G(亠x2x33yiy2y33次结论显然成立。三、关于内心的性质性质1：设I为:ABC的内心，CABC三边长分别为a,b,c，且ID,IE,IF分别垂直于BC,CA,AB贝U：ID:IE:IF=1:1:1此结论显然成立性质2:：设I为:ABC的内心，.IABC三边长分别为a,b,c，且ID,IE,IF分别垂直于BC,CA,AB，则：Al:Bl:CI二bc(bc-a):.ca(ca-b):.a
4、b(ab-c)。证明：如图，延长AI,BI,CI，分别交BC,CA,AB于点,P,Q,R,由梅涅劳斯定理得，IAPIIAPIQCAQBPCB=1结合角平分线定理,上式可变为IAPI-1，化简得,b：cIA二bcAP。同理可得,a+b+ca+ca+bIBBQ,ICCR.再有角平分线公式abcabc得,AP.bc(abc)(bca)b+c,BQ.ca(abc)(cab)acCR=WITb9，将其代入IAIB,IC三式并化简得:AI:BI:CIbc(bc-a):、.ca(ca-b):.ab(ab-c)性质3：设I为ABC的内心，ABC三边长分别为a,b,c，则:此结论显然成立。四、关于重心的性质性质
5、1：设G为ABC的重心,性质1：设G为ABC的重心,-ABC三边长分别为a,b,c，则S.ABG:SBCGS.ABG:SBCG:S.CAG=1:1:1此结论显然成立。如图所示：因为Sabg-Sbcg-Scag，故设ma,mb,mc分别为边BC,CA,AB上的中线的长度，由中线公式:，mb1(c2a2b2122c2性质2：设G为:ABC的重心，:ABC三边长分别为a,b,c，且GD,GE,GF分别垂直于BC,CA,AB，则GD:GE:GFbc:ca:ab。证明:111aGDbGEcGF，不难证得222GD:GE:GF=bc:ca:ab性质3：设G为ABC的重心，ABC三边长分别为a,b,c，且GD,GE,GF分别垂直于BC,CA,AB，则AG:BG:CG=2b=.2b22c2-a22c22a2-b2:2a22b2-c2。参考文献：刘超。三角形“四心”性质的讨论J.名师导航，2012年6月。王玉光，赵艳。从高等几何观点看三角形“四心”J.科技信息高校理科研究2c2-a2:.2c22a2b2:2a22b2-c2证明：2c2故AG:BG:CG故AG:BG:CG22222a222b23叫卯:严3c-2:1ca-2
