《高三数列应用题专项训练》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数列应用题专项训练（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数列应用题专题训练一、储蓄问题对于这类问题的求解，关键是要搞清：(1)是单利还是复利；(2)存几年。单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。设本金为P元，每期利率为r，经过n期，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1+nr)。复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1+r)x。例1、（储蓄问题）某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日在银行中存入2000元，连续5年，有以下两种存款的方式：(1)如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a(1+n6.5%)计本利(n为年数)；(2
2、)如果按每年转存计，即每存入a元，按(1+5.7%)na计算本利(n为年数)。问用哪种存款的方式在第六年的7月1日到期的全部本利较高？分析：这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。解：若不计复利，5年的零存整取本利是2000(1+50.065)+2000(1+40.065)+2000(1+0.065)=11950；若计复利，则2000(1+5%)5+2000(1+5%)4+2000(1+5%)11860元。所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。二、等差、等比数列问题等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列
3、的有关性质求解。例2、（分期付款问题）用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元。购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%。若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一日，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？解：购买时付出150元，余欠款1000元，按题意应分20次付清。设每次所付欠款顺次构成数列an，则a1=50+10000.01=60元，a2=50+(1000-50)0.01=59.5元，a3=50+(1000-502)0.01=59，an=60-(n-1)0.5所以an是以60为首项，-0.5为
4、公差的等差数列，故a10=60-90.5=55.5元20次分期付款总和S20=20=1105元，实际付款1105+150=1255(元)答：第10个月该付55.5元，全部付清后实际共付额1255元。例3、（疾病控制问题）流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月
5、几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。分析：设11月n日这一天新感染者最多，则由题意可知从11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列；从n+1日到30日，每天新感染者构成另一个等差数列。这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。略解：由题意，11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列an，a1=20,d1=50,11月n日新感染者人数an=50n30；从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列bn,b1=50n-60,d2=30，bn=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人数为b30-n=20(30-n)-30=-
6、20n+570.故共感染者人数为：=8670，化简得：n2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日这一天感染者人数最多，为570人。例4（住房问题）某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01)解：1991年、1992年、2000年住房面积总数成AP a1 = 6500 = 3000万m2，d = 30万m2，a10 = 3000 + 930 = 32701990年、1991年、2000年人口数成GPb1 = 500 , q
7、= 1% , 2000年底该城市人均住房面积为：点评：实际问题中提炼出等差、等比数列。例5 （浓度问题） 从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg的容器中倒出1 kg盐水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg盐水，然后再加入1 kg水，问：1.第5次倒出的的1 kg盐水中含盐多少g？ 2.经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1 kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为an，则： a1= 0.2 kg , a2=0.2 kg , a3= ()20.2 kg 由此可见：an= ()n-10.2 kg , a5= ()5-10.2= ()40.2=0.
8、0125 kg 2.由1.得an是等比数列 a1=0.2 , q= 点评：掌握浓度问题中的数列知识。例6（减员增效问题）某工厂在1999年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50，如果某人分流前工资的收入每年元，分流后进入新经济实体，第年的收入为元，（1）求的通项公式；（2）当时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？（3）当时，是否一定可以保证这
9、个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？解：（1）由题意得，当时，当时，（2）由已知，当时，要使得上式等号成立，当且仅当，即，解得，因此这个人第三年收入最少为元（3）当时，上述等号成立，须且因此等号不能取到，当时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入例7（等差等比综合问题）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元两种方案的
10、期限都是10年，到期一次行归还本息若银行贷款利息均以年息10的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数据：） 解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和：（万元）到期时银行的本息和为（万元）甲方案扣除本息后的净获利为：（万元）乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：（万元）贷款的本利和为：（万元）乙方案扣除本息后的净获利为：（万元）所以，甲方案的获利较多三、an- an-1=f(n),f(n)为等差或等比数列有的应用题中的数列递推关系，an与an-1的差（或商）不是一个常数，但是所得的差f(n)本身构成一个等差或等比数列，这在一定程度上增加了递推
11、的难度。例8、（广告问题）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件。若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为（n-1）千元时多卖出件，（nN*）。（1）试写出销售量s与n的函数关系式；（2）当a=10,b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？分析：对于(1)中的函数关系，设广告费为n千元时的销量为sn,则sn-1表示广告费为(n-1)元时的销量，由题意，snsn-1=，可知数列sn不成等差也不成等比数列，但是两者的差构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：解法一、直接列式：由题，s=b+=b(
12、2-)（广告费为1千元时，s=b+；2千元时，s=b+；n千元时s=b+）解法二、（累差叠加法）设s0表示广告费为0千元时的销售量，由题：，相加得Sn-S0=+,即s=b+=b(2-)。（2）b=4000时，s=4000(2-),设获利为t,则有t=s10-1000n=40000(2-)-1000n欲使Tn最大，则：，得，故n=5,此时s=7875。即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大。四、an= Can-1+B，其中B、C为非零常数且C1例9、（企业生产规划问题）某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金200万
13、元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？（lg2=0.3）。分析：设经过n年后，该项目的资金为an万元，则容易得到前后两年an和an-1之间的递推关系：an =an-1（1+25%）-200（n2），对于这类问题的具体求解，一般可利用“待定系数法”：解：由题，an =an-1（1+25%）-200（n2），即an =an-1-200，设an +=（an-1+），展开得an =an-1+，=-200，=-800，an -800=（an-1-800），即an -800成一个等比数列，a1=1000(1+25%)-20
14、0=1050, a1-800=250，an -800=250（）n-1，an =250（）n-1+800，令an4000，得（）n16，解得n12,即至少要过12年才能达到目标。例10（分期付款问题）某人年初向银行贷款10万元用于买房：(1)如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔借款分10次等额归还(不计复利)，每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到一元)；(2)如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？(精确到一元)。解：(1)设每年还款x元，依题意得x+x(1+5%)+x(1
15、+25%)+x(1+95%)=100000(1+5%)，x12245元(2)设每年还款x元，依题意得x+x(1+4%)+x(1+4%)2+x(1+4%)9=100000(1+4%)10，x12330元答：(1)当年利率为5%，按单利计算，每年应归还12245元；(2)当年利率为4%，按复利计算时，每年还款12330元。评注：上述例题是与数列有关的分期付款问题，两问所用公式各异。 (1)中的利率是单利(即当年的利息不计入次年的本金)，故所用的公式是等差数列通项公式和前n项和公式； (2)中的利率是复利(即利滚利)，故所用公式是等比数列通项公式和前n项和公式，导致这种区分的原因是付款形式不同。例11（环保问题）（2002年全国高考题）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过6
