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1、两角和与差的余弦教学设计学段高中学科数学学校执教课题3.1.1两角和与差的余弦教学目标1. 学生通过交流、探索，经历两角和的余弦公式的发现和证明过程，体验数学发现和创造的快乐；2. 了解公式与公式之间的关联，体会化归思想、特殊化思想，完善知识结构；3. 把握公式结构，合理进行公式的顺用、逆用及变形用，提高学生灵活应用公式的能力；4. 培养学生的逻辑推理能力、运算能力，促使学生思维的灵活性、深刻性、辩证性提升.教材分析（含重、难点）重点：两角和与差的余弦公式的推导与初步应用难点：两角和与差的余弦公式的证明教学方法、手段启发引导、自主探究、合作交流、汇报展示；多媒体辅助教学 教学过程教学流程学生活
2、动教师活动设计意图 创设情境 引入课题创设情境引入课题 学生思考，并回答教师提出的问题. 预设：学生回答想求出的三角函数值. 生：已知角的和、差. 师：前面我们已经学习了任意角的三角函数，同角三角函数关系及诱导公式，对于一些特殊角如的三角函数值更是已经铭记于心了，现在你想利用它们的三角函数值求出哪些非特殊角的三角函数值呢？问题1 已知，你想求出哪些非特殊角的三角函数值呢？ 师：为什么还想求出的三角函数值呢？师：也就是说想通过单角的三角函数值去求出和、差角的三角函数值.这就是我们本节课所要研究的内容两角和与差的三角函数，我们先从余弦开始学习. （板书课题：两角和与差的余弦） 通过问题1形成学生的
3、认知冲突，为引入课题作铺垫，也让学生的头脑中有了用单角的三角函数表示和、差角的三角函数的想法.明确本节课的研究目标.合作探究建构公式合作探究建构公式 预设：学生选择先研究和角的余弦. 学生动手作图，在坐标系中表示出各角以及角的终边与单位圆的交点坐标. 生：寻找等量关系. 学生自主探索、合作交流、汇报展示.预设： 学生自主探究，汇报交流，有两种不同的构造方式 学生分工合作，汇报交流. 预设得到三个等式： 学生根据求值时的简便性，以及公式呈现形式的结构特点会选择第三个式子作为两角和的余弦公式.师：你想先研究和角还是差角的余弦呢？问题2 与之间有什么等量关系呢？ 师：当我们遇到问题无从下手时，不妨回
4、到定义去，在坐标系中借单位圆来研究.问题2.1 你能在坐标系中表示出以及它们的正余弦吗？ （教师展示学生的布列方式） 、 师：对照目标，在图中表示出相关量以后，接着要干什么呢？ 师：找出图形中的等量关系，再将这些几何特征代数化，寻求我们所要探究的关系.下面就按照这些步骤进行探究.问题2.2 此图中蕴含了哪些等量关系呢？ 师：这两个等量关系分别是利用它们所对的圆心角相等得到的.其中是利用所对的圆心角均为，是利用所对的圆心角均为，所对弦长为，你能构造出与它相等的弦吗？问题2.3 你能构造出与相等的弦吗？问题2.4 你能将刚才发现的等量关系代数化吗？ 师：三个等式都得到了和角与单角三角函数之间的关系
5、。你想通过那个来求和角的余弦值呢?为什么？ 师:因此我们把（*）式作为求两角和的余弦值的一个工具. 顺应数学发展的规律和学生的认知规律，先从和角的余弦开始研究. 让学生明确研究的目标：寻找和角的余弦与单角的三角函数间的关系. 引导学生通过三角函数的定义来研究. 以问题串为载体引领学生探究和的余弦与单角的正、余弦值之间的关系.让学生明确探究关系的步骤. 利用圆心角所对的弦长相等，寻找等量关系，引导学生去构造与相等的弦，为下面的代数化过程作铺垫. 三个等量关系代数化以后都得到了关于和角与单角三角函数之间的关系，让学生自己选择一个作为和角的余弦公式，回答这个问题的同时，就已经在分析公式的结构特征了.
6、深化理解公式应用深化理解公式应用深化理解公式应用 学生思考后进行回答，能说出等式的结构特征：右边为同名三角函数积之差，发现是任意角时仍然成立. 学生自己学会抓公式结构，巧记公式.学生独立思考、汇报展示. 学生发现在这两个公式中如果将看做一个整体的话，其实质是两角差的余弦公式. 预设有以下三种方式：（1） 将中的一者特殊化；（2） 将两者都特殊化；（3） 将用其它的数式换元.（学生一般容易想到的是将两角都特殊化，提示另外两种情形.）学生在先行尝试，接着相互分享，最后小组代表汇报结果.学生回答，注意学生中的不同解法，因势利导.例题3让学生先行求解，用展台展示典型解法，再发动学生帮忙纠错，最终规范书
7、写.问题3 等式的结构特征和成立的条件是什么？师（给予肯定）：我们把（*）式称为两角和的余弦公式，简记为,这里的是任意角.师：你会怎么去记忆这个公式呢？问题4 你能根据两角和的余弦公式导出两角差的余弦公式吗？师：我们用“换元法”成功地导出公式，这种将未知转化为已知的化归思想在三角中应用非常广泛.在我们今后的学习中将会有更深刻的体会.师：有了赋值法、换元法的体验，带着化归的思想，回头看，一开始得到的另两组公式，你有什么发现吗？问题4.1这两个等式实质上是哪个公式呢？师：把握住公式的结构特点，有化归思想，就可以认清本质.问题4.2既然两角和与差的余弦公式中，角可以取任意值，那么把它们特殊化能得到什
8、么呢？ 师(总结)：将两个角都特殊化可以用来求值，将一个特殊化可以推导出所有的诱导公式（课后可以尝试证明所有的诱导公式），将角若其它的数式替换可以得到更多有趣、有用的等式，大家可以再课后进行更多的尝试.这不就是一生二，二生三，三生无穷嘛！在这样的过程中，我们再次使用了赋值法和换元法，特殊化思想和化归思想体现得淋漓尽致.例1 求.例2 化简 （1）（2）（3） （4） 师(总结)：在解题过程中，要善于观察式子的结构，熟练掌握公式的正用、逆用和变形用.例3 已知 师：角的范围、公式的使用，值的正负在解答题的书写中要特别关注. 引导学生分析公式的特点和公式成立的条件，记忆公式. 让学生思考如何根据和
9、角的余弦公式推导出差角的余弦公式，在此过程中学生会用换元法解决问题，并体会化归的数学思想方法.让学生再次体会化归思想，把握公式的结构特点.通过特殊到一般再回到特殊的过程，渗透特殊化、化归的数学思想，了解公式与公式之间的关联.每一次特殊化的过程，都是对公式的一次再认识，为认识两角和与差余弦公式的本质作铺垫。 公式的应用分为三个层次进行：顺用、逆用、变形用。旨在让学生进一步熟悉公式结构特征。让学生板演后，再互相纠错 ，规范书写，能让学生的印象更深刻.回顾反思课堂小结 学生自由畅谈体会。问题5 回顾一下本节课的研究历程，你学习了哪些知识？掌握了哪些方法？体会了哪些思想？ 师：两个公式，三个应用，两种
10、方法，三种思想。联系的观点看事物。 开放式的小结让不同的学生有不同的收获。作业布置1. 课本106页1-32. 课本107页4-63.(1)利用今天所学公式，尝试证明所有的诱导公式.搜集关于两角和与差公式的其它证明方法。如：无字证明；应用三角函数线证明；向量法证明等。 分层设计作业，分为感受理解、思考运用、探究拓展三个层次，满足不同基础学生的需求。 板书设计 课题：3.1.1两角和与差的正弦“数形结合”正用、逆用、变形用其它公式 “化归”“特殊化” 两角和与差的余弦教学设计说明一、 设计理念 课程标准下的公式教学，要求教师以学生为主体，尊重学生已有的知识经验，通过学生自主探索活动，让学生经历知
11、识的发生发展过程，体会蕴含在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹.数学是思维的体操，它应当在促进学生思维发展方面承担更多的责任.从而公式的教学除了关注公式的应用，还要关注公式产生的背景、公式的形式特点、公式的证明与记忆、以及公式与公式之间的关联.本教学设计以培养和发展学生的思维为教学着力点，努力把数学的学术形态转化为学生易于接受的教学形态，强化学生对数学思想方法和思维方式的感悟.二、 教材内容解析 三角恒等变换是苏教版普通高中课程标准实验教科书必修4中的第三章，由于考虑知识结构的连贯性，在教学过程中，选择第一章（三角函数）讲授结束后，讲授第三章（三角恒等变换）.三角恒等变换是前面所学三角函数
12、知识的继续和发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材.“两角和与差的余弦”是本章的起始内容，既是本章节的重点，也是后继内容两角和与差的正弦、正切及二倍角公式的知识基础，化归思想是推导这些公式的主导思想，在教学中，不论是推导公式还是应用公式，都应该自始至终地贯彻这一思想.学习这部分知识，是完善学生知识结构、深化数学思想方法（化归、数形结合、特殊化等）、提升多种数学能力（运算能力、推理能力等）的重要载体.因此，本节课的教学重点是：两角和与差的余弦公式的掌握（证明、记忆、公式间的关联）与应用. 由于学生没有学习向量，需借助于图形推导两角差的余弦公式，在此过程中，会遇到对角任意性的说明，这点对于学生来说是一个难点，因而本节
