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1、函数的值域与最值（一）、最值与值域的高考地位传统高考数学中的应用题中凡涉及到利润最大（或最小），最少的人力、物力等，均可归结于最值与值域的求解；当今高考数学中的求字母参数的取值范围问题很大一部分归结于最值与值域的求解通过求函数的最值与值域可大大的加深对一些数学思想的领会，提高运用数学思想解题的能力。（二）、最值与值域的关系1、有的函数知道值域就可以求最值如：函数的值域是，可知2、有的函数知道最值就可以求值域3、有的函数有值域但无最值如：函数的值域是，但,4、有的函数有最大值但无最小值如：函数，但5、有的函数有最小值但无最大值如：函数，但6、值域有可能是一个数，也可能是几个数构成的集合，但大多是
2、一个不等式构成的集合如：常数函数的值域是7、求最值与值域的方法大同小异8、在由值域确定函数的最值时，需注意等号成立的条件下才能取到。如：已知值域，只有，而9、最值存在定理：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值（三）、基本初等函数的定义域与值域函数名函数解析式定义域值域一次函数RR二次函数R时，时，反比例数指数函数R对数函数R正弦函数R【-1,1】余弦函数R【-1,1】正切函数R（四）、函数的最值与值域的求解技巧即是求函数值的集合或是找到的y的不等式出来（以后者为重）如：已知函数，则此函数的值域是（ ）A、；B、；C、；D、法（一）：观察法【及时反馈】1、函数的值域是（ ）A、；B、；C、R
3、；D、法（二）：反函数法、理论依据：巧妙根据原函数与它的反函数的定义域、值域的互调性，如下表所示：定义域值域原函数AC反函数CA由上表知，求原函数的值域就是相当于求它的反函数的定义域、求反函数的步骤（“三步曲”）求；x、y互换；通过求原函数的值域得出反函数的定义域【及时反馈】（1）、求函数的值域（2）、求函数的值域法（三）：分离变量法常用于求形如的函数的值域求解技巧：“分子对分母说，我要变成你”，即把化成“常量+”的形式来。【及时反馈】（1）、求函数的值域（2）、求函数的值域通过以上两题的值域的求解，你发现了什么？（形如的函数的值域是）（3）、已知函数的值域是，则a的值是 法（四）：基本不等式
4、法若a0,b0，则 , 【及时反馈】(1)、若a、b是正数且，则ab、a+b的取值范围分别是 （2）、已知实数m、n满足mn0,则的值（ ）A、有最小值但没有最大值；B、有最大值但没有最小值；C、既有最大值也有最大值；D、没有最大值也没有最小值；型，可直接用不等式性质，【及时反馈】求的值域（答：）型，先化简，再用均值不等式，【及时反馈】（2）求函数的值域（答：） 型，可用判别式法或均值不等式法，【及时反馈】求的值域（答：）在使用均值不等式求函数的最值与值域时注意：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针法（五）：配方法常用于二次型函数的最值与值域的求解。配方步骤：1、把二次项系数
5、化为1；2、在一次项之后加上又同时减去一次项的一半的平方；3、把前三项凑成完全平方式。（一）、不带限制条件的二次型函数的最值与值域的求解技巧1：通过配方后得到当时，；值域是当时，；值域是技巧2：求出对称轴，然后把对称轴带入原函数即得【及时反馈】（1）、求函数的最值与值域。（2）、求函数的最值与值域（要求配方后作出函数的图像）。（3）、求函数的最值与值域。（4）、求函数的最值与值域。（提示：分离变量后用配方法，当然还可以用判别式法处理本题。答案：）（二）、带有限制条件的二次型函数的最值与值域的求解有两类：1、是求具体函数（即不含字母参数的）在闭区间上的最值与值域；技巧1：通过配方后画出图形，由数
6、形结合即可求解带有限制条件的二次函数图像的画法须注意以下几点：对称轴；开口；顶点；与坐标轴的交点注意：先画全图，后根据定义域加以取舍。技巧2：可不画图求出对称轴，然后看对称轴与区间的位置关系若对称轴包含在区间内，则把端点及对称轴处的函数值全求出来加以比较，最大者为最大值，最小者为最小值。若对称轴在区间外，则只需把端点处的函数值求出来即可最大者为最大值，最小者为最小值。【及时反馈】（1）、求函数的最值与值域。（2）、求函数的值域（答：4,8）；（3）、求函数在如下区间中的的最值与值域。、；、；、；、（4）、求函数的最值与值域。（提示：先转化为带有限制条件的二次型函数的最值与值域的求解）（5）、若
7、，则函数（ ） A、有最小值，最大值-3；B、有最小值，最大值12；C、有最小值，无最大值；D、无最小值，有最大值12；2、是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题（即含字母参数的）。此时要分“轴在区间左；轴在区间右；轴在区间内”三种情况加以讨论【及时反馈】（1）、当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是_（答：）；（2）、分别根据下列条件，求实数a的值：、函数在区间上有最大值2；（答案：a=-1或2）、函数在区间上有最大值4；（答案：a=-3或）、函数在区间上有最大值3；（答案：a=或）（3）、求函数在区间上的最大值。小结：求二次函数的最值与值域问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方
8、向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系。法（六）：换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征一般是函数解析式含有根式或三角函数公式模型代数换元法【及时反馈】1、（1）、求函数的最值与值域。解：令（运用换元法时，要特别要注意新元的范围），易知所以，所以，欲求原函数的值域，只需求的最值与值域即可（解法同上面的【及时反馈】）。（2）、求函数的最值与值域。（答案：）2、的值域为_（答：）；3、的值域为_（答：）（令，。运用换元法时，要特别要注意新元的范围）；4、的值域为_（答：）；5、求函数的最值与值域。三角换元法【及时反馈】（1）、求函数的最值与值域。思考：此题同上面的【及时
9、反馈5】）有何区别与联系？解：定义域优先考虑：由得 联想到 三角函数中的的范围不就也是吗？所以令，其中，则所以求函数的最值与值域问题就转化为求函数最值与值域。（下略）（2）、已知变量满足，求的最值。（3）、已知变量满足，求的最值。（4）、已知，则的最小值为( )A、 B、 C、 D、2（）（5）的值域为_（答：）；法（七）：单调性法若函数在区间内单调递增，则，；若函数在区间内单调递减，则，；【及时反馈】1、求函数的最值与值域。易知此函数的定义域为，而在此区间内函数递增，故当时，。2、求函数的最值与值域。（答案：）3、求函数的最值与值域。法（八）：判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都
10、可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式。如型，通常用判别式法【及时反馈】（1）求的值域。（2）、求函数的最值与值域。解：易知定义域为R，由变形得(当二次项系数为字母参数时注意对其分等于0和不等于0两情形加以讨论)当时，即y=2，方程变为，此时当时，即，因为 方程恒有实根又值域为（2）、若函数的值域是，则a,b的值为 （答：a=4,b=3,详解参见名师一号P5112题）（3）、已知函数的定义域为R，值域为0，2，求常数的值（答：详解见2010优化方案P29）判别式法的思想意义：“判别式法”这种思想方法巧妙的把函数、不等式、方程
11、有机的勾结起来，使得函数、不等式、方程三者互相转化的思想体现得淋漓尽致。法（九）：导数法导数是高等数学中的一个极其重要的概念，是处理很多函数问题的有力工具，自从高中数学引入了导数，函数问题的处理思想和方法置于更加广阔的天地之中。一般适用于高次多项式函数的最值与值域的求解。曾记否？用导数求函数的最值与值域的步骤：【及时反馈】（1）、求函数，的最小值。（答：48）（2）、 ( 2005高考贵州卷)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解：设容器的高为x，
12、容器的体积为V1分则V=（90-2x）（48-2x）x,(0x24) =4x3-276x2+4320x5分V=12 x2-552x+43207分由V=12 x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36x0,10x36时，V36时，V0,所当x=10,V有极大值V(10)=196010分又V(0)=0,V(24)=011分当x=10,V有最大值V(10)=196012分（3）、（2008年高考重庆卷）已知函数的最大值为M,最小值为m，则的值为（ ）A、；B、；C、；D；答案：C（4）(2004年高考贵州-理22)（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln(1+x)x，g(x)=xlnx.
13、（）求函数f(x)的最大值；（）设0ab,证明0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.（5）、(2005年高考贵州-理22)（本小题满分12分）已知函数 （）求的单调区间和值域； （）设，函数使得成立，求a的取值范围. （6）（2011年江西理19）设.（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.【解析】（1）在上存在单调递增区间，即存在某个子区间 使得.由，在区间上单调递减，则只需即可。由解得，所以，当时，在上存在单调递增区间.（2）令，得两根，.所以在，上单调递减，在上单调递增当时，有，所以在上的最大值为又，即所以在上的最小值为，得
14、，从而在上的最大值为.（7）（2011北京文18）已知函数，（I）求的单调区间；（II）求在区间上的最小值。解：（I），令；所以在上递减，在上递增；（II）当时，函数在区间上递增，所以；当即时，由（I）知，函数在区间上递减，上递增，所以；当时，函数在区间上递减，所以。法（十）：数形结合法适用于函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率等等【及时反馈】（1）、已知变量x、y满足，求及的取值范围（答：、）；补图解析：求的取值范围 就是相当于求 的取值范围就是相当于求 圆上任一点到定点A(-2,0)的切线的斜率的最大值与最小值的问题。解析：令t=后，求 的取值范围 就是相当于求 直线在y轴上的截距的取值范围（2）、求函数的值域（答：）；（3
