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1、2017届高三数学跨越一本线精品问题一与圆有关的最值问题通过对近几年的高考试题的分析比较发觉，高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势，与圆 有关的最值问题，更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系，又能与圆锥曲线相结合, 命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐.本文就此问题从内容和处置方式 上进行归纳，以帮忙同窗们攻克那个难点.一、与圆相关的最值问题的联系点与直线的倾斜角或斜率的最值问题利用公式二tan a (a #90 )将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一路，通过正切函数的图象能够解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值，或已经倾斜角的范围探求斜率的最值处置方式：直线倾斜角的
2、范围是0，n)，而那个区间不是正切函数的单调区间，因此n I n依照斜率求倾斜角的范围时，要分0,万与-y，n两种情形讨论由正切函数图-2丿、2丿一一nn象能够看出，当a匕0，创时，斜率ku0，+s)；当a =空时,斜率不存在；当n时，斜率ku(s,0)丿【例1】坐标平面内有相异两点A(cos0,sin20),B(O,1)，通过两点的直线的的倾斜角的取值范 围是().一兀兀一兀 11 13兀c兀3兀兀3兀一A.B.oU,兀C.0，丁U,兀D._ 441 4一 4丿4一 4丿_ 44【答案】C【解析】 =MD 3X=-如 E-U,且匕3 #0 设直线的倾斜角肯事当0 10tcos ycos Bs
3、t则0 c tau tz玉1,所決倾斜角a的范围为0ct-.当一1玉 0时则一1玉询氐 所臥倾斜角a斗的范围为咚35.4【点评】由斜率取值范围确信直线倾斜角的范围要利用正切函数y=tan x的图象，专门要注意 倾斜角取值范围的限制;求解直线的倾斜角与斜率问题要擅长利用数形结合的思想，要注意直线 的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数丫=七&口 x的单调性求k的范围.【小试牛刀】【2017届山东荷泽一中宏志部高三上学期月考】假设过点P2/3 , - 2)的直线与圆x2 + y2 = 4有公共点，那么该直线的倾斜角的取值范围是()兀、小兀A.0，B.0，-V6丿L3C.0，D.0
4、，-6 _V 3 _【答案】B【解析】当过点P(-2j3,-2)的直线与圆x2 + y2 = 4相切时，设斜率为k，那么此直线方程为 y+2=k(x + 2耳3)，即kx y + 2z3k 2 = 0.由圆心到直线的距离等于半径可得 12131 = 2，求得k = 0或k二运，故直线的倾斜角的取值范围是0,?，因此B选项是正、：k 2 +13确的.与距离有关的最值问题在运动转变中，动点到直线、圆的距离会发生转变在转变进程中，就会显现一些最值问题，如距 离最小，最大等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接取得相关结论，解 题时即可利用这些结论直接确信最值问题常见的结论有：(1)
5、圆外一点A到圆上距离最近为|A| 丫，最远为|A| + r ；(2) 过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦;(3) 直线与圆相离，那么圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d + r,最近为d - r ；(4) 过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积.(5) 直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；(6) 两个动点别离在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.【例2】过点M(1,2)的直线与圆C :(x - 3匕+(y - 4)2 = 25交于a,b两点，C为圆心，当ZACB最小时，直线的方程.答案：x + y 一
6、 3 二 0解析：要使ZACB最小，由余弦定理可知,需弦长|AB最短.要使得弦长最短，借助结论可知当4-2M (1,2)M (1,2)所在直线的k二二1，那么所求的直线斜率为-1，由点斜式可得3-1y 1 (x 2) x + y 3 0【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一样依照长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解此题通过两次转化，最终转化为求过定点的弦 长最短的问题.【例3】【2016-2017学年湖北大冶市实验中学高二上学期月考】假设圆C :x2 + y2 + 2x一4y + 3 = 0关于直线2ax + by + 6 0对称，那么由点(a,b)向圆C所作的切线长的最
7、小值是( )A.B.C.D.【答案】C与面积相关的最值问题【解析】圆G伙+於+力4y+3=0优为 W) + (厂2) 11玖圆的圆心坐标为(-1,2)半径为血 C: X为v(17 +1)2 + (30 6)2二30，如图,可知当AB为圆C的直径时取得最大值，因此当点P位于 点P所在位置时取得最小值，当点P位于点P所在位置时取得最大值.因为1 2 AB I 二 10, I PA I二 21 AB I，因此 r 二 5, r 二 55，应选 A. +ymaxminmax + 2x4y + 3 = 0关于直线2ax+b7+S=0对称，所以.在直线上可得-2&.+2=0,即 a=b+3.点(ajb)与
8、圆心的距离，尿J + l+個-2兀所洪点 3、向圆C所作切线长：/& + 1+(方2卩2 = J(Q+4+(方一2)22 = 2(+1/+16 斗当且仅当b=-l时弦长最小,为4【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题，解题时应注意圆心与切点连线与切线垂 直,从而得出一个直角三角形.【小试牛刀】【2016届河北省武邑中学高三上学期测试】在平面直角坐标系xOy中，圆C : (x +1)2 + (y 6匕=25，圆 C : (x 17匕 + (y 30匕=r2 .假设圆 C 上存在一点 P，使 1 2 2得过点P可作一条射线与圆C依次交于点A, B，知足|PA| = 2|AB|，那么半径的
9、取值范围是()A. 5,55B. 5,50C. 110,50D. 110,55【答案】A【解析】由题，知圆C的圆心为(1,6)，半径为5,圆C的圆心为(17,30)，半径为，两圆圆心距1 2与圆的面积的最值问题,一样转化为寻求圆的半径相关的函数关系或几何图形的关系,借助函 数求最值的方式,如配方式,大体不等式法等求解,有时能够通过转化思想,利用数形结合思想求 解.【例4】在平面直角坐标系中，A,B别离是轴和y轴上的动点,假设以AB为直径的圆C与直 线2x + y - 4二0相切,那么圆C面积的最小值为()A.兀B.兀C. (6 2育5)兀D.兀544【答案】A【解析】设直线：2x + y 4
10、0 因为IOC1= I AB = dd = x =,圆C面积的最2c-1 2 o i 2 v;5 5小值为兀(*)2 4-.选A.【例5】动圆C通过点F(1,0),而且与直线x = 1相切，假设动圆C与直线y x + 22 +1总有公共点，那么圆C的面积()A有最大值8兀B有最小值2兀C有最小值3兀D有最小值4兀【答案】D【解析】设圆心为(a，b)，半径为，r = CF = a +11，即(a -1)2 + b 2 = (a +1)2，即 a = 4 b 2，.圆心为(1 b2,b), r = 4b2 +1，圆心到直线y = x + 2迈+1的距离为I冬b + 2迈+1 加_d =+ l,.b
11、 2，当b 2时，r - x 4 +1 2S 兀 r2 4兀min 4 min【小试牛刀】【2016-2017学年广东潮阳黄图盛中学高二上期中】已知点A (2,0) ,B (0,2)，点P 是圆(x 1)2 + y2 1上任意一点，那么APAB面积的最大值是()B. 3 +C. 3- 2【答案】B【解析】由A, B两点诃知血直线为无p +2 = 0,由圆的方程可知圆心(比),1,圆心到直线的距高d =?十=*,所以点P到直线AB的最大距离为f +1,所以面积的最衣值为v2-、i2i 2S = *|曲|应=*罔加況吩+1 =3+血二、与圆相关的最值问题的经常使用的处置方式数形结合法处置与圆有关的
12、最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并依照代数式的几何意义，借助数形结合 思想求解.【例6】已知实数x, y知足方程X2+y2 4x+l = 0,求：y(1) X的最大值和最小值；(2) yx的最大值和最小值；X2+y2的最大值和最小值.【分析】(1)利用斜率模型；(2)利用截距模型；(3)利用距离模型【解析】原方程变形为(x2)2 + y2 = 3,表示以(2,0)为圆心，半径r=.J的圆.y设x=k,即y二kx,由题知，直线y二kx与圆恒有公共点，那么圆心到直线的距离小x于等于半径叮3.J :k +1wij3.：k2W3，即一3ki3,Ax的最大值为、3,最小值为一寸3.设yx=b,那么当直
13、线yx=b与圆相切时,b取最值，由|2 0+b|3,得b =2/6,yx的最大值为： 6 2,最小值为一2 6.令d=：x2 + y2表示原点与点(x, y)的距离，原点与圆心(2,0)的距离为2,d =2+0,d =2申.max7minX2 + y2 的最大值为(2+,；3)2 = 7 + 4“j3,最小值为(2一寸3)2 = 7 4“(3.【点评】研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解.常见 yb的最值问题有以下几种类型：形如卩=一形式的最值问题，可转化为动直线斜xa率的最值问题；形如t = ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问 题；形如(xa)2+(
14、yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的 最值问题.【小试牛刀】【2017届河北武邑中学高三周考】已知直线l: x + y-6二0和曲线M : x2 + y2 2x 2y 2 = 0,点A在直线上，假设直线AC与曲线M至少有一个公共点C,且ZMAC二300，那么点A的横坐标的取值范围是()A.(0,5)B. 11,5C. I1,3D.(0,3【答案】B【解析】设A(x ,6 x ),依题意有圆心到直线的距离d二AM sin 30 2，即 0 0(x 1)2 +(5 x)2 16，解得 x gi,5 0 0 0成立函数关系求最值依照题目条件列出关于所求目标函数的关系式然后依照关系的特点选用参数法、配方式、判别 式法等进行求解.10【例7】设P, Q别离为x2 + (y - 6=2和椭圆二+ y2 = 1上的点，
