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1、2020 年考研数学基础知识复习讲义（完整版）高等数学目录第一章函数、极限、连续（全体）第二章一元函数微分学（全体）第三章一元函数积分学（全体）常微分方程（全体）第五章向量代数与空间解析几何 （数学一）第六章多元函数微分学（全体）第七章多元函数积分学 71 二重积分（全体） 72 三重积分 73 曲线积分第八章无穷级数（数学一和数学三）第一章函数、极限、连续11 函数甲内容要点一函数的概念1函数的定义设 D 是一个非空的实数集， 如果有一个对应规则 f ，对每一个 x D ，都能对应唯一的一个实数 y ，则这个对应规则 f 称为定义在 D 上的一个函数，记以 y f x ，称 x 为函数的自变
2、量，y 为函数的因变量或函数值，D 称为函数的定义域，并把实数集Zy yf x , xD称为函数的值域74曲面积分（数学一）2分段函数4反函数如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示， 而要用两个或两个以上的如果 y f x 可以解出 xy 是一个函数（单表达式来表示。这类函数称为分段函数。值）则称它为 fx的反函数，记以 xf1 y 。x 1x1有时也用 yf 1x表示，例如 y x 2 , x0解出例如 y f xx 21x 1x 2 x 0 解出 x5xx 1xy ， y0 而 yy y 0是一个分段函数，它有两个分段点， x1和 x1，它们两侧的函数表达式不同，因此讨二
3、基本初等函数论函数 yf x 在分段点处的极限、 连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、1常值函数 y c （常数）右连续性和左、右导数，需要强调：分段函数2幂函数 yx （ 常数）不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆3指数函数 ya x (a 0 , a 1 常数 )连续这个定理。y ex （ e 2.7182，无理数）又 f x xx,x0 ，x,x01,x0f x sgn x0,x0 ，都是分段函数1,x04对数函数常用对数3隐函数自然对数ylog a x（ a 0, a1常数）ylog 10 xlg xylog e xln x形如 yf x 的函数称为显函数，由方程F
4、x, y0 确定 yy x 称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数， 例如 x2y 21，y1 x 2 ，（不一定一个单值函数） ，而有些隐函数则不能化为显函数。5三角函数 y sin x ；ycos x ；ytan x ；ycot x ； y secx ； y csc x 。6反三角函数 yarcsin x ； yarccos x ；初等函数。yarctanx ； yarc cot x 。四考研数学中常出现的非初等函数1用极限表示的函数关于基本初等函数的概念， 性质及其图象非常重要，影响深远。例如以后经常会用11lim arctan x ；lim arctan x ；lim ex ；lim e
5、x ；lim ln xxxx 0x 0x 0等等。就需要关于 yarctan x ，yex ，yln x 的图象很清晰。三复合函数与初等函数1复合函数设 yf u定义域 Uu g x 定义域 X ，值域 U *如果 U*U ，则 yf g x是定义在 X 上的一个复合函数。其中u 称为中间变量。2初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的用一个分析表达式表示的函数称为（1） y limfn xn（2） ylim f t, xt x2用变上、下限积分表示的函数xft dt ，其中 f t 连续，则 dyf x（1） y0dx（2）y2xx ， 2 x可导，f t dt ，其中11xf
6、 t 连续，则 dyf2 x 2 x f1 x1 xdx五函数的几种性质1有界性：设函数 yf x 在 X 内有定义，若存在正数M ，使 xX 都有f xM 则称 f x 在 X 上是有界的。2奇偶性：设区间 X 关于原点对称，若对xX ，都有f xf x ，则称 f x 在 X 上是奇函数；若对 x X ，都有 f x f x ，则称 f x 在 X 上是偶函数、奇函数的图象关于原点对称； 偶函数图象关于 y 轴对称。乙典型例题一求函数的定义域例 1求函数 f x ln ln ln x100 x 2 的定3单调性：义域设 fx 在 X 上有定义，若对任意 x1X ，x2 X ，例 2求 yx
7、x的定义域1ln x5x1x2 都有 f x1f x2 f x1f x2则称 f x 在X 上是单调增加的 单调减少的 ；若对任意例 3设 fx的定义域为a, a a0 ，求x1X， x2X，x1x2都 有f x 21 的定义域f x1f x2 f x1f x2则称 f x在X上是单调不减 单调不增 。1,0x2例 4 设求（注意：有些书上把这里单调增加称为严g x2x42,格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。 ）f xg 2xg x1的定义域，并求 f3。24周期性：设 f x 在 X 上有定义，如果存在常数 T0，使得任意 xX ， xTX ，都有 f xTf x ，则称 f x 是周
8、期函数，称 T 为 f x 的周期。由此可见，周期函数有无穷多个周期， 一般我们把其中最小正周期称为周期。二求函数的值域13 3例 1求 y e x 1 的值域3 x3 ,x2例 2求 y f x5 x,2 x 2 的21x2,x2值域，并求它的反函数解： g xf1 x 实际上为求反函数问题f g xln 1 g xx ，1 g x exg xex1三求复合函数有关表达式4有关复合函数方程1已知 fx 和 gx ，求 f g x例 1已知 f xx，求 f1x 1f x 1例 2设 f xx，求 f ff xfn x1x2n重复合例 3设 f x4 x2 , x2 ，求 f f x0,x22已知 g x 和 f g x，求 f x例 1设 f ex1 e2xexx ，求 f x例 2已知 fexxe x ，且 f 10 ，求 f x例 3设 fxsin x ，求 fx例4 已 知f sin x3cos2x ， 求 证f cos x3cos2x3已知 f x 和 f g x ，求 g x例设 f x13 f x 2x ，求 f xx1四有关四种性质例1设 F xf x ，则下列结论正确的是（A）若 f x 为奇函数，则 F x 为偶函数。（B）若 f x 为偶函数，则 F x 为奇函数。（ C）若 f x 为周期函数，则 F x 为周期函数。（
