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1、#高中数学解析几何第一部分:直线一、直线的倾斜角与斜率1倾斜角a(1) 定义：直线I向上的方向与X轴正向所成的角叫做直线的倾斜角范围：01802斜率：直线倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率k tan(1) 倾斜角为90的直线没有斜率。(直线垂直于x轴时,斜率的存在与不存在(2) 每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率 其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到 这两种情况，否则会产生漏解。(3)设经过A(x1，yj和B(X2,y2)两点的直线的斜率为 k ,.丄yy2cc。则当x1 x2时，ktan；当x1x2时，90 ;斜率不存在;二、直线的方程1点斜式
2、：已知直线上一点P (xo,yo)及直线的斜率k (倾斜角a)求直线的方程用点斜式:y_yo=k(x_x 0)注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x x0 ;2斜截式：若已知直线在 y轴上的截距(直线与 y轴焦点的纵坐标)为 b，斜率为k ,则直 线方程：y kx b ;特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y kx注意：正确理解“截距”这一概念，它具有 方向性，有正负之分，与“距离”有区别 。3两点式：若已知直线经过 (xyj 和(X2, y2)两点，且(X1 X2, y1 y2则直线的万程：y yx % ；讨2 % X2 X1注意：不能表示与 x轴和y轴垂直的直线；
3、当两点式方程写成如下形式(x2 xj(y yj (y2 yj(x xj 0时，方程可以适应在于任何一条直线。4截距式：若已知直线在 x轴，y轴上的截距分别是 a , b ( a 0,b 0 )则直线方程：注意：1) 2) 横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=aAx By C 0 ；（ A, B不同时为零）；5 般式：任何一条直线方程均可写成一般式: 反之，任何一个二兀一次方程都表示一条直线。但一般式不一定都能化为特注意：直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式,殊形式，这要看系数 代B,C是否为0才能确定。x6（选修4-4）参数式
4、yXoyoatbt（t参数）其中方向向量为(a,b),ab单位向量a-b2,7a_b2 ；旳Jb2指出此时直线的方向向量：BA(B, A) , ( B, A) ,22 , a22(单v A B v A B位向量）；直线的法向量：（A, B）;（与直线垂直的向量）|t1 t2 |点R ,P2对应的参数为ti,t2，则丨ppH寸a bx x0 t cosyy tsin（t为参数）其中方向向量为 （cos ,sin ） , t的几何意义为| PP | ；斜率为tan ；倾斜角为（0）。三、两条直线的位置关系宀护方 位置大糸li : y kiX bi l2: y k2x b211 : Ax Biy C
5、i012 : A2x B2y C20平行kik2，且 bi b2AiBiCi(AiB2-A2Bi=0)A2B2C2重合k1 k2，且 b-ib2ABiCiA2B2C2相交kik?AiBiA2B2垂直k1 k2iAi A2Bi B2 0设两直线的方程分别为：l；岭以&或眩：嚮CC2 00 ；当匕k2或A1B2A；Bi时它们相交，交点坐标为方程组yk；xxb；或A；xx屠CC；oo解；注意： 对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：（A|,Bi）（A,B2）对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如（A1,B1） （A2, B2） 0 若两直线的斜率都不存在，则两直线平行；若一条直线
6、的斜率不存在，另一直线的斜率 为_0_，则两直线垂直。 对于AA2 B1B20来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用起来更方便. 斜率相等时，两直线平行（或重合）；但两直线平行（或重合）时，斜率不一定相等，因为斜 率有可能不存在。四、两直线的交角（1）ll到12的角：把直线ll依逆时针方向旋转到与12重合时所转的角；它是有向角，其范围是0注意：li 到 12的角与12到ll的角是不一样的：旋转的方向是逆时针方向：绕“定点” 是指两直线的交点。（2 ）直线li与l2的夹角：是指由li与丨2相交所成的四个角的最小角 （或不大于直角的角），它的取值范围是0-（3 ）设两直线方程分
7、别为:l1 : y k1x b1 或 l1 : A|X B1y C10l2：y k2x b2或 l2 : A2x B2y C2 0若为l1到l2的角，tank2 k1-1 或 tan1 k2k1A B2 a2 B1A A? B1B2若为h和l2的夹角，则tank2 k11k2kr或tanA b2 a2 B1A1A2 B B2当 1 k1 k2 0 或 A1A2 B1B2 0 时，90 ；注意：上述与k有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直;当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理直线l1到l2的角与l1和l2的夹角 ：（-）或（-）；五、点到直线的距离公式:1点P(x,y
8、)到直线l : Ax By C 0的距离为:| AX0 By。C |-A2 B22.两平行线 l1: Ax By C1 0, l2 : Ax By C2 0 的距离为：dIG C2IA2 B2六、直线系:(1)设直线 h：Ax B1y C1 0, I2 ： A2XB2 y C20，经过 J的交点的直线方程为 Ax Ry G (A2X B?y C2) 0 (除去i2)；如：y kx 1y 1 kx 0,即也就是过y 10与x 0的交点(0,1)除去x 0的直线方程。直线丨：(m 1)x(2m1)y m 5恒过一个定点 注意：推广到过曲线(x,y)0与f2(x,y)0的交点的方程为:f1(x)f(
9、X2)0 ；(2) 与l: AxByC0平行的直线为Ax By G0 ；(3) 与l: AxByC0垂直的直线为Bx Ay G0 ；七、对称问题：(1) 中心对称： 点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A(a,b)关于C(c,d)的对称点 (2c a,2d b) 直线关于点的对称：I、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；n、求出一个对称点，在利用l1 /l2由点斜式得出直线方程；川、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如口：求与已知直线l1 :2x 3y 60关于点P(1, 1)对称的直线l2的方程。(2 )轴
10、对称： 点关于直线对称：I、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。n、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点 坐标公式求解。如口 ：求点A( 3,5)关于直线l : 3x 4y 40对称的坐标。 直线关于直线对称：(设 a,b关于I对称)I、若a,b相交，则a到I的角等于b到I的角；若a/l，则b/l，且a,b与I的距离相等。n、求出a上两个点 代B关于I的对称点，在由两点式求出直线的方程。川、设P(x, y)为所求直线直线上的任意一点，则P关于I的对称点P的坐标适合a的方程。女口：求直线a : 2x y 40关于I : 3
11、x 4y 10对称的直线b的方程。八、简单的线性规划：(1) 设点 P(xo, yo)和直线 I : Ax By C 0,若点P在直线I上，则Ax0 By0 C 0 ；若点P在直线I的上方，则B( Ax0 By 0 C )0 ；若点P在直线I的下方，贝y B(Ax0 By0 C) 0 ；(2) 二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式Ax By C 0( 0),当B0时,则 Ax ByC0表示直线I : Ax By C0上方的区域;AxByC0表示直线I:AxBy C0下方的区域：当B0时,则 Ax ByC0表示直线I : Ax By C0下方的区域;AxByC0表示直线I:AxB
12、y C0上方的区域：注意：通常情况下将原点(0,0)代入直线 Ax By C中，根据0或 0来表示二元一次不等式表示平面区域。(3) 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解 (x, y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意:当B0时，将直线立AxBy0向上平移，则zAx By的值越来越大;直线AxBy0向下平移，则zAxBy的值越来越小；当B0时,将直线AxBy0向上平移，贝U z AxBy的值越来越小：直线AxBy0向下平移，则zAxBy的值越来越大：如：在如图所示的
13、坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界)，目标函数z x ay取得最小值的最优解有无数个，则a为；第二部分：圆与方程2 2 22.1圆的标准方程：(x a) (y b) r圆心C(a,b)，半径r特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2 y2 r2 .2.2点与圆的位置关系：1.设点到圆心的距离为 d，圆半径为r:点在圆上，一d=r; (2)点在圆外 一dr; (3)点在圆内 dvr.2 2 2 M 在圆 C 内 (x0 a)2 (y0 b)2 r2 M 在圆 C 上 (xo a)2 (yo b)2 r22给定点 M(x,y)及圆 C :(x a) (y b) r . M 在圆 C 外(x0 a)2 (y0 b)2 r22.3圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0当D2E24F0时,当D2E24F0时,当D2E24F0时,注：(1)方程Ax2D2 E2；4丿AF0.圆的直彳径系；方程:已知方程表示一个点方程无图形(称虚圆)AB是圆的直径2Bxy Cy Dx Ey F方程表示一个圆，其中圆心0表示圆的充要条件是:2 2D2 E2 4F2A(xi,yi)B(X2 ,y2)(x xi)(x X2) (y yi)(yy2) 02.4直线与圆的位置关系：直线Ax By C20与圆(x a) (yb)22r的位置关系有三种,d是圆心
