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1、八年级(上)数学期末精品复习系列之一 全等三角形【基础篇】一、概念全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形对应顶点：完全重合时，互相重合的顶点为对应顶点对应角：完全重合时，互相重合的角为对应角对应边：完全重合时，互相重合的边为对应边如图，若与全等，记作“”，其中顶点、分别与顶点、对应注意：寻找全等三角形的对应角，对应边的一般规律是： 把其中一个图形通过旋转、翻转或平移，能与另一个图形完全重合，则重合的边就是对应边，重合的角就是对应角，表示两个三角形全等时，要把对应字母写在对应位置上。 有公共边时，则公共边为对应边; 有公共角时，则公共角为对应角 (对顶角为对应角); 最大边与最大边（最
2、小边与最小边） 为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角.二、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等全等三角形的周长相等，面积相等平移、对称、旋转前后的图形全等。三、三角形全等的判定方法 1. 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS 2. 如果两个三角形的两边及这两边的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS 3. 如果两个三角形的两个角及这两个角的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA 4. 如果两个三角形的两个角及其中的一个角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为AAS 5. 如果两个直角三角形的斜
3、边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为HL图释：两个三角形中对应相等的边或角是否全等全等：不全等：公理或推论（简写）三条边SSS两边一角两边夹角SAS两边与其中一边对角两角一边两角和夹边ASA两角与其中一角对边AAS三角特殊：直角三角形中，常用“HL”四、全等证明思路：在判定两个三角形全等的过程中，五种方法，选用哪种？取决于题目中的已知条件：若已知两边对应相等，则找他们的夹角或第三边（AAA/ASA）；若已知两角对应相等，则只需再找任意一组边对应相等（AAS）；若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边（AAS/SAS）【提高篇】在全等形的证明里面，最难的就
4、是添加辅助线进行全等的构造。提醒两点：1、 全等的构造始终靠着题目，看看题目中有哪些角和边相等，然后反问自己，这个时候是证明边容易还是角容易，进而选择什么证明思路就很清楚了，这是第一个方法，也就是凸显条件，使其形成证明所需条件；2、 我们要把常见的模型、构图、定理常用的一些经典题目的图形刻在脑海里，有时候，看到一个图形，我们如果能很快的添加辅助线，使其变成我们熟悉的构图，那么就能快速解决问题，这就是添加辅助线，还原基本构图。1通过添加辅助线构造全等三角形直接证明线段(角)相等1已知：如图AB=AD，CB=CD，(1)求证：B=D(2)若AE=AF试猜想CE与CF的大小关系并证明分析：(1)在没
5、有学习等腰三角形的知识的时候，要证明两个角相等，经常需要证明它们所在的两个三角形全等。本题中要证明B=D在已知条件中缺少明显全等的三角形。而连结AC以后，AC作为公共边，根据题目的已知条件可以看到三角形ABC全等于三角形ADC，进而证明了B=D。如果在学习了等腰三角形的知识以后还可以连结BD，通过等边对等角，再用角等量减等量得到B=D更为简单(2)猜想CE=CF，在连结AC证明了三角形ABC全等于三角形ADC以后，得到EAC=FAC，再去证明三角形EAC全等于三角形FAC，进而证明CE=CF。证明：(1)方法1、连结AC，证明ABCADC，进而B=D。 方法2、连接BD，因为AB=AD，所以，
6、ABD=ADB同理，CBD=CDB 所以，ABD-CBD=ADB-CDB，即B=D。(2)由(1)得B=D，又因为BE=DF，CB=CD,故BCECDF，进而CE=CF。通过例1我们应该初步体会添加辅助线的必要性，例1(1)(2)两个小问，从添加辅助线证明一次全等得角相等，到添加辅助线证明二次全等线段等，我们感觉到了问题层次的递进。特别是例1(1)中如果B、C、D共线的时候我们可以得到等边对等角的结论。为例2使用做铺垫。练习：(1)已知：如图AB=CD，AD=BC，求证：A=C分析：根据已知条件AB=CD，AD=BC，连结公共边BD(AC)，可以发现三角形ABD全等于三角形CBD(可以发现三角
7、形ABC全等于三角形ADC)，在这里我们发现添加辅助线的方法非常类似。证明：连结AC(BD)，证明ABCADC(ABDCDB)。(2)己知：如图，B=C，求证：AB=AC分析：可以不添加辅助线把三角形ABC和ACB看成不同的三角形，证明全等。但是作AD垂直BC与点D，可以发现三角形ABD全等于三角形ACD，证明显的更加自然。证明：方法1：易证ABCACB，进而AB=AC。 方法2：作ADBC垂足为点D，证明ABDACD，进而证明AB=AC小结：上述例题和练习体现了“见山开道，遇水搭桥”的辅助线添加方法，分析题目的条件和结论，发现只需要添加公共边就可以达到构造全等三角形，进而证明线段(角)相等的
8、结沦。2通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。2如图所示，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF。求证：AC=BF。分析：欲证AC=BF，只须证AC、BF所在两个三角形全等，显然图中没有含有AC、BF的两个全等三角形图形，而根据题目条件的去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线段，所对的角相等即可。思路一、以三角形ADC为基础三角形，转移线段AC，使AC、BF在三角形BFH中法一：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，证
9、明ADC和HDB全等，得AC=BH。通过证明H=BFH，得到BF=BH。证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH D为BC中点 BD=DC在ADC和HDB中 ADCHDB(SAS) AC=BH, H=HAC EA=EF HAE=AFE又 BFH=AFE BH=BF BF=AC法二：过B点作BH平行AC与AD的延长线相交于点H，证明ADC和HDB全等。小结：对于含有中点的问题，通过“倍长中线”得到可以两个全等三角形。而过一点作己知直线的平行线，可以起到转移角的作用，也起到了构造全等三角形的作用。思路二、以三角形BFD为基础三角形。转移线段AC，使AC、BF在两个全等三角形中法三：延长FD至H
10、，使得DH=FD，连结HC。证明CDH和BDF全等。证明：延长FD至H，使得DH=FD，连结HC。 D为BC中点 BD=CD在BFD和CHD中 BFDCHD(SAS) H=BFH AE=FE HAC=AFE又 AFE=BFH H=HAC CH=CA BF=AC法四：过C点作CH平行BF与AD的延长线相交于点H，证明CDH和BDF全等。小结：通过一题多种辅助线的添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换
11、构造了全等。熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。拓展：如图所示，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF。求证：AE=EF。分析：调换己知和求证的顺序是几何中提出新问题的一种常规做法。我们调换了例2的部分已知条件和结论的顺序提出新的问题，在解决新的问题中又巩固了上述添加辅助线的基本作法。上述四种方法仍然可以适用。练习：(1)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D求证：DE=DF(2)已知：如图
12、，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点求证：BE=CF分析：练习(1)巩固例2中典型辅助线的作法，练习(2)巩固例2拓展的调换部分条件和结论提出问题的方法。证明：辅助线已作出，证明略3 .通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段不等关系3、已知如图，AD为ABC的中线，求证：AB+AC2AD分析：用例2的辅助线的添加方法，识别基本图形，并利用它们去解决不等关系的问题。AB、AC、2AD不在同一个三角形中，如果能将AD倍长，转移AC就可在同一个三角形找出与AB、AC、2AD相关的线段，再利用三角形两边之和大于第三边可以很容易的
13、解决。证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE AD为ABC的中线， BD=CD。在ADC和EDB中， ADCEDB（SAS）。 AC=BE。在ABE中，AB+BEAE, AB+AC2AD。练习：(1)在ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=6，AC=10，则AD的取值范围是_。分析：范围是2AD8。应用例3的结论解决问题，变换图形位置再识别基本图。思考题：如图，点D、E三等分ABC的BC边求证：AB+ACAD+AE设计思路：关注倍长中线法的灵活应用。解题时要善于挖掘隐含条件；善于将未知的问题转化为已知的问题。具体到本题就是把三等分问题转化成中点点问题。分析：方法一：倍长AD和AE，易得ME=AB，CN=ADAE+MEAM， AC+CNANAB+AE2AD， AD+AC2AE相加得证。方法二：倍长中线AG，易得CH=AB，HE=AD延长HE交AC于PAP+EPAE， CH+CPHP=HE+EP可得证。(2
