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1、 10.2排列与组合最新考纲考情考向分析1. 理解排列的概念及排列数公式，并能 利用公式解决一些简单的实际问题.2. 理解组合的概念及组合数公式，并能 利用公式解决一些简单的实际问题 .以理解和应用排列、组合的概念为主， 常常以实际问题为载体，考查分类讨论 思想，考查分析、解决问题的能力，题 型以选择、填空为主，难度为中档基础知识自主学习回扣皐础知识训草皐砒題目r知识梳理i .排列与组合的概念名称定义排列从n个不冋兀素中取出n)个兀素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2. 排列数与组合数(1) 排列数的定义：从n个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m
2、个元素的排列数，用 A表示. 组合数的定义：从 n个不同元素中取出 mjmc n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的组合数，用 C表示.3 排列数、组合数的公式及性质公式mn!(1) A n= n(n 1)( n 2)(n m 1)=-(n m!m A1 n(n 1)( n 2)(n1)n!(2) Cn-ATm-m (n m!性质(3) 0 ! = 1； AT n !_ m_nmmm_m1(4) C n= Cn ； G + 1 = G + C【概念方法微思考】1排列问题和组合问题的区别是什么？提示 元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.2 排列数与组
3、合数公式之间有何关系？它们公式都有两种形式，如何选择使用？提示（1）排列数与组合数之间的联系为CA丄A.（2）两种形式分别为：连乘积形式；阶乘形式.前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.3 解排列组合综合应用问题的思路有哪些？提示 解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨” “分类” “分步”的角度入手.“分析”是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合， 对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥 的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简单的排列组
4、合问题，然后逐步解决.r基础自测题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或“X”）（1）所有元素完全相同的两个排列为相同排列.（X ）（2）一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.（X ）（3）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.（ V ）（4）（ n+ 1） ! - n!= n n! .（ V ） 若组合式C = C1,则x = m成立.（X ）（6） kCk= nCi-11.（ V ）题组二教材改编2 . P27A组T76把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A. 144 B . 120 C . 72 D . 24答案 D解析 “插空法”，先
5、排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐 法种数为 A = 4 X 3X 2 = 24.3. P19例4用数字1,2,3,4,5 组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（）A. 8 B . 24 C . 48 D . 120答案 C解析 末位数字排法有种，其他位置排法有 A3种，共有 点=48（种）排法，所以偶数的个数为48.题组三易错自纠4. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A . 192 种B. 216 种C. 240 种D. 288 种答案 B解析 第一类：甲在最左端，有 AU 5 X 4 X 3X 2X 1 = 1
6、20（种）排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有 4A4 = 4X 4X 3X 2X 1 = 96（种）排法.所以共有120 + 96= 216（种）排法.5. 为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为（）A. 180B. 240C. 540D. 630答案 CCsCc!解析 依题意，选派方案分为三类：一个国家派4名，另两个国家各派 1名，有 足a 3=90（种）；一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有dc3CA3 = 360（种）;c6C?c|每个国家各派2名，有 肩A 3= 90（种），故不同的选
7、派方案种数为90 + 360 + 90= 540.6寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A, B, C, D,E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有种.（用数字作答）答案 45解析 设5名同学也用 A B, C, D, E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC BDACBCDACADBCDAB CDBA DABC DCAB DCBA共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有 9X 5 = 45（种）.题型分类深度剖析真題
8、就题諫度剖斬覽点难点多维摊穽题型一 排列问题二1用1,2,3,4,5 这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（）A. 96个B. 78 个C. 72 个D. 64 个答案 B解析 根据题意知，要求这个五位数比 20 000大，则首位必须是2,3,4,5 这4个数字中的一个，当首位是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有 A4 = 24（个）；当首位是2,4,5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3 X （A4- A3） = 54（个），因此共有 54+ 24= 78（个）这样的五位数符合要求.故选B.2 .某高三毕业班有40人，同
9、学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言.（用数字作答）答案 1 560解析由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了 A4o= 40 X 39= 1 560（条）留言.3. 6名同学站成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有 种不同站法.答案 480解析 方法一 （位置优先法）先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有 A1种站法；第2步，余下4人（含甲）站在剩下的4个位置上，有 A!种站法.由分步乘法计数原理可知，共有尿=480（
10、种）不同的站法.方法二 （元素优先法）先安排甲的位置（既不站在最左边又不站在最右边 ），再安排其他5人 的位置，分为两步：第1步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有a4种站法；第2步，余下5人站在剩下的5个位置上，有 a5种站法.由分步乘法计数原理可知，共有Aa! = 480（种）不同的站法.思维升华排列应用问题的分类与解法（1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时 一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过 多的问题可以采用间接法.（2）对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决
11、有限制条件 的排列问题的常用方法.题型二 组合问题例1男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各 1名现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.解 (1) 分两步完成：第一步，选3名男运动员，有 C3种选法；第二步，选2名女运动员，有 c4种选法由分步乘法计数原理可得，共有dC= 120(种)选法(2) 方法一 “至少有 1 名女运动员”包括以下四种情况：1女4男， 2女3男， 3女2男， 4女1男由分类加法计数原理可得总选法共有cic4+ c4c6+ C4C2+
12、246(种).方法二 “至少有 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员” ，可用间接法求解从10人中任选5人有Co种选法，其中全是男运动员的选法有c6种所以“至少有 1名女运动员”的选法有 do C6 = 246(种).(3) 方法一 ( 直接法 ) 可分类求解：“只有男队长”的选法种数为c48；“只有女队长”的选法种数为c48；“男、女队长都入选”的选法种数为c38，所以共有2C4+ C8= 196(种)选法.方法二 (间接法)从10人中任选5人有Co种选法，其中不选队长的方法有 d种.所以“至少有1名队长”的选法有 Co c8= 196(种). 当有女队长时，其他人任意选，共有 c9种选法
13、；当不选女队长时，必选男队长，共有 c8种 选法，其中不含女运动员的选法有 C4种，所以不选女队长时的选法共有 (c8 C4)种.所以既 要有队长又要有女运动员的选法共有 C9+ c8 C = 191(种).思维升华 组合问题常有以下两类题型变化：(1) “含有”或“不含有”某些元素的组合题型： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素 补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2) “至少” 或“至多” 含有几个元素的组合题型： 解这类题必须十分重视 “至少” 与“至多” 这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类 复杂时，考虑逆向思
14、维，用间接法处理.跟踪训练1某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取 3 种.(1) 其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2) 其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3) 恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？(4) 至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？(5) 至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取 2种有dL= 561种取法，某一种假货必须在内的不同取法有561种. 从34种可选商品中，选取 3种，有Ct种或者C35 - 034=氏=5 984种取法.某一种假货不能在内的不同取法有5 984种. 从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C2cd5= 2 100种取法.恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种. 选取2种假货有 dod5种，选取3种假货有C?5种，共有选取方式 c2qC25 + C15 = 2 100 + 455 =2 555（种）.至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.方法一（间接法）选取3种的总数为C35，因此共有选取方式戊0*5= 6 545 - 455= 6 090（种）.至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.方法二（直接法）选取3种真货有C：。种，选取2种真货有 Cds#，选取1种真货有clcds种，
