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1、 专题 多面体与球的组合体问题综述21.球与柱体的组合体21.1 球与正方体21.2球与长方体31.3球与正棱柱32球与锥体的组合体32.1 球与正四面体32.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥42.4 球与其他棱锥43三视图相结合的组合体问题54.球的截面问题6专项训练题球与几何体的组合体问题6综述在各类考试中，与球有关的问题往往是：（1） 外接球一个几何体的所有顶点在球上，此球即为外接球，确定其半径的方法主要是：A 将几何体补为长方体或正方体，化为这两种特殊几何体的外接球问题；B 利用外接球的球心的特点到几何体所有顶点的距离相等，先确定球心的轨迹，再列等式，解得半径解此类题的关键是：球心到多
2、面体的顶点的距离都相等，都等于球的半径，这是确定球心位置的根本依据要知道以下知识：1正方体，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处；2直棱柱的外接球的球心在高的中点；3对于底面是三角形的棱锥，需要知道：在空间，到三角形三个顶点距离相等的点，在经过该三角形外心且与该三角形平面垂直的直线上；4对某些特殊的三棱锥，可以将其补成为正长方体，三棱锥的外接球就是正长方体的外接球（2） 切球也即球在几何体部，与其所有侧面均相切，这种球的半径往往用体积公式来确定，类似于求三角形接圆的半径问题。1.球与柱体的组合体1.1 球与正方体如图1所示，正方体，设正方体的棱长为，为棱的中点，为球的球心.常见组合方式有三类
3、：一是球为正方体的切球，截面图为正方形和其切圆，那么；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形和其外接圆，那么；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形和其外接圆，那么.例将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，那么这个球的外表积为A2B4C8D161.2球与长方体长方体必有外接球，不一定存在切球只有为正方体时才有.设长方体的棱长为其体对角线为，那么，外接球的半径1.3球与正棱柱下面以正三棱柱为例。设正三棱柱的高为底面边长为，如图2所示，和分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高的中点，借助直角三角形的勾股定理，可求.例直三棱柱的六个顶点都在球的球面上，假设，那么球的外表积为A
4、BC D提示：正弦定理求底面三角形的外接圆半径2球与锥体的组合体2.1 球与三棱锥（1） 球与正四面体正四面体，即所有棱长均相等的三棱锥，它既存在外接球，也存在切球，两心合一。棱长为a外接球的半径为，切球的半径为，二者是3:1的关系，可以用体积来证明。2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥例正四棱锥的底边和侧棱长均为，那么该正四棱锥的外接球的外表积为.36例 在正三棱锥PABC中，PAPB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，那么该三棱锥外接球的体积为 A B. C. 4D.变式1：正三棱锥ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,假设PA,PB,PC两两互相垂直,那么球心到截面ABC
5、的距离为_.变式2： 2008球的面上四点A、B、C、D，那么球的体积等于.解析：此题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为，那么此长方体为正方体，所以长即为外接球的直径，利用直角三角形解出.故球的体积等于.如图4变式3：正四棱锥，底面边长为2，侧棱长为3，那么切球的半径是多少？CBASO2.4 球与其他棱锥球与一些特殊的棱锥进展组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进展求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥S-ABC，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位
6、置.如图8，三棱锥,满足取的中点为,由直角三角形的性质可得：所以点为三棱锥的外接球的球心,那么.例矩形中，沿将矩形折成一个直二面角,那么四面体的外接球的体积是( )A. B. C. D.解：由题意分析可知，四面体的外接球的球心落在的中点，此时满足,.变式：1、三棱锥中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA底面ABC，且PA=2，那么此三棱锥切球的半径为 2四面体ABCD的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，AC=，BD=，那么该球的外表积为 A14 B15 C16 D183、如图，半径为2的半球有一接正六棱锥，那么此正六棱锥的侧面积是_3三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给
7、出三视图，然后考察其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还原几何体，根据几何体的特征选择以上介绍的方法进展求解. 例9 某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外接球的球面面积为A.5B.12C.20D.8【牛刀小试】假设一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图，其顶点都在一个球面上，那么该球的外表积为()A. B. C. D. 4.球的截面问题必备知识：球的截面是圆，圆的圆心与球心的连线与截面垂直例 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，那么球的体积为()A. cm
8、3B. cm3C. cm3D. cm3专项训练题 球与几何体的组合体问题1、正三棱锥的高和底面边长都等于6，那么其外接球的外表积为ABCD2、三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2,假设点P,A,B,C,D都在同一球面上，那么此球的外表积等于A.B.C.D.3、正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，那么截面面积的最小值为.补成正方体，截面与OE垂直时面积最小，44、正三棱锥ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,假设PA,PB,PC两两互相垂直,那么球心到截面ABC的距离为_.【答案】5、四面体中，共顶点的三条棱两两相互垂直，
9、且其长别分为1、3，假设四面体的四个项点同在一个球面上，那么这个球的外表积为.166、一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,这个球的体积是p,那么这个三棱柱的体积为.48根号37、2013三棱柱的6个顶点都在球的球面上,假设,那么球的半径为ABCD8、假设三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ，那么其外接球的外表积是 . 99、2012新课标理三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且，那么此棱锥的体积为ABCD10、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，那么该球的外表积为A BCD11、四面体的四个顶点都在球的外表上，平面，是边长为3
10、 的等边三角形.假设，那么球的外表积为 A. B. C. D.12、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面，该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为_答案：13、 四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，那么此球的体积为.14、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，那么该球的外表积为()Aa2B.a2C.a2D5a215、如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，侧面是半球底面圆的接正方形，那么侧面的面积为 A2 B1 C D16、(2014一模)三棱柱的侧棱垂直于底面，各项点都在同一球面上，假设该棱柱的体积为，那么此球的外表积等于. /
