《高考数学理科二轮复习【专题8】几何证明选讲含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学理科二轮复习【专题8】几何证明选讲含答案（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考数学精品复习资料 第1讲几何证明选讲考情解读本讲主要考查相似三角形与射影定理，圆的切线及圆内接四边形的性质与判定定理，圆周角定理及弦切角定理，相交弦、切割线、割线定理等，本部分内容多数涉及圆，并且多是以圆为背景设计的综合性考题，考查逻辑推理能力1(1)相似三角形的判定定理判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三
2、角形相似(2)相似三角形的性质相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方(3)直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项2(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数3(1)圆内接四边形的性质定理圆的内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于它的内角的对角(2)圆内接四边形判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆4(1)圆的切线的性质定理圆的
3、切线垂直于经过切点的半径(2)圆的切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(3)弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角(4)相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等(5)切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项5证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换6圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用.热点一相似三角形及射影定理例1如
4、图所示，在RtABC中，ACB90，CDAB于D，且ADBD94，求ACBC的值解方法一因为ACB90，CDAB于D，所以由射影定理，得AC2ADAB，BC2BDAB.所以()2.又ADBD94，所以ACBC32.方法二因为ADBD94，所以可设AD9k，BD4k，kR.又ACB90，CDAB于D，由射影定理，得CD2ADBD，所以CD6k.由勾股定理，得AC3和BC2，所以ACBC32.思维升华含斜边上的高的直角三角形是相似三角形中的基本图形，本题中出现多对相似三角形，这为解决问题提供了许多可以利用的有效信息另外，直角三角形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角形中的一个经典应用，在类似问题
5、中应用射影定理十分简捷 (20xx陕西改编)如图，ABC中，BC6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC2AE，求EF的值解AA，AEFACB，AEFACB，2，EF3.热点二相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用例2如图所示，AB为O的直径，P为BA的延长线上一点，PC切O于点C，CDAB，垂足为D，且PA4，PC8，求tanACD和sin P.解连结OC，BC.因为PC为O的切线，所以PC2PAPB.故824PB，所以PB16.所以AB16412.由条件，得PCAPBC，又PP，所以PCAPBC.所以.因为AB为O的直径，所以ACB90.又CDAB，所以ACDB
6、.所以tanACDtan B.因为PC为O的切线，所以PCO90.又O直径为AB12，所以OC9，PO10.所以sin P.思维升华(1)求非特殊角的函数值的关键是将这些角归结到直角三角形中，利用直角三角形的边之比表示出角的三角函数值，然后根据已知条件将这些比值转化为已知线段的比值(2)线段成比例的证明，一般利用三角形相似进行转化，在圆中的相关问题，应注意灵活利用圆中的切割线定理、相交弦定理等求解相关线段的长度或构造比例关系如图，O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2PAPC；(2)若O的半径为2，OAOM，求MN的
7、长(1)证明连结ON，则ONPN，且OBN为等腰三角形，则OBNONB，PMNOMB90OBN，PNM90ONB，PMNPNM，PMPN.根据切割线定理，有PN2PAPC，PM2PAPC.(2)解OM2，在RtBOM中，BM4.延长BO交O于点D，连结DN.由条件易知BOMBND，于是，即，BN6.MNBNBM642.热点三四点共圆的判定例3如图，已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，B60，F在AC上，且AEAF.证明：(1)B、D、H、E四点共圆；(2)CE平分DEF.证明(1)在ABC中，因为B60，所以BACBCA120.因为AD、CE分别是BAC、DCF的平分线，所以HACHC
8、A60，故AHC120.于是EHDAHC120.所以EBDEHD180，所以B、D、H、E四点共圆(2)连结BH，则BH为ABC的平分线，得HBD30.由(1)知B、D、H、E四点共圆，所以CEDHBD30.又AHEEBD60，由已知可得EFAD，可得CEF30.所以CE平分DEF.思维升华(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边表的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆 如图所示，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B、C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点(1)证明：
9、A，P，O，M四点共圆；(2)求OAMAPM的大小(1)证明连结OP，OM，因为AP与O相切于点P，所以OPAP，因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC，于是OPAOMA180.由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆(2)解由(1)得，A，P，O，M四点共圆，所以OAMOPM，由(1)得OPAP，由圆心O在PAC的内部，可知OPMAPM90，所以OAMAPM90.1证明两角相等，关键是确定两角之间的关系，多利用中间量进行转化，可以通过证明三角形相似或全等，利用平行线的有关定理，如同位角相等、内错角相等等，也可利用特殊平面图形的性质，如利用等腰三角形的两
10、个底角相等、圆中同弧或等弧所对的圆周角相等寻找中间量进行过渡2证明或寻找圆内接图形中的角之间的关系，除了注意平面图形中的垂直、平行关系之外，还应注意弦切角、同弧所对角等性质的灵活运用.真题感悟1(20xx江苏)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点证明：OCBD.证明因为B，C是圆O上的两点，所以OBOC.故OCBB.又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，B，D为同弧所对的两个圆周角，所以BD.因此OCBD.2(20xx课标全国)如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：(1)BEEC；
11、(2)ADDE2PB2.证明(1)连结AB，AC.由题设知PAPD，故PADPDA.因为PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，（所以DACBAD，从而BEEC.因此BEEC.(2)由切割线定理得PA2PBPC.因为PAPDDC，所以DC2PB，BDPB.由相交弦定理得ADDEBDDC，所以ADDE2PB2.押题精练1.如图，在直角梯形ABCD中，DCAB，CBAB，ABADa，CD，点E，F分别为线段AB，AD的中点，求EF的值解连结DE，由于E是AB的中点，故BE.又CD，ABDC，CBAB，四边形EBCD是矩形在RtADE中，ADa，F是AD的中点，故EF.2.如图，BD，
12、AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，求BE的长解AC4，AD12，ACD90，CD2AD2AC2128，CD8.又AEBC，BD，ABEADC，BE4.3.如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点若CFAB，证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD.证明(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC.又已知CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CFBDAD.而CFAD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF.因为CFAB，所以BCAF，故CDBC.(2)因为FGBC，故GBCF.由(1)可知BDCF，所以GBBD，
13、所以BGDBDG.由BCCD知CBDCDB，又因为DGBEFCDBC，所以BCDGBD.(推荐时间：50分钟)1.如图，RtABC中，BAC90，ADBC于D，BE平分ABC交AC于E，EFBC于F.求证：EFDFBCAC.证明BAC90，且ADBC，由射影定理得AC2CDBC，.EFBC，ADBC，EFAD，.又BE平分ABC，且EAAB，EFBC，AEEF，.由、得，即EFDFBCAC.2(20xx重庆改编)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA6，AC8，BC9，求AB的值解由切割线定理得PA2PBPCPB(PBBC)，即62PB(PB9)，解得PB3(负值舍去)由弦切角定理知PABPCA，又APBCPA，故APBCPA，则，即，解得AB4.3如图，在RtABC中，C90，BE平分ABC交AC于点E，
