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1、高三数学 期中试卷（理）（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.（1） 设集合，则（A）1 （B）2 （C）0，1 （D）1，2（2） 设，则 （A）（B） （C）（D）（3） 已知i是虚数单位，则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（4） 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（A）向右平移个单位（B）向左平移个单位（C）向右平移个单位（D）向左平移个单位（5） 函数的图象大致为（A）（B）（C）（D）（6） 设，向量，且，则 （A） （B） （C） （D）（7） 已知若函数只有一个零点，
2、则的 取值范围是（A）（B）（C）（D）（8） 设，其中，若对一切 恒成立，则下列结论正确的是 ； 既不是奇函数也不是偶函数； 的单调递增区间是； 存在经过点的直线与函数的图象不相交.（A） （B）（C） （D）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（9） 在等差数列中，已知，则该数列前11项和 .（10） 如图，阴影区域是由函数的一段图象与x轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是 .（11） 在中，角的对边分别为.，则 . （12） 已知实数满足，则的最大值是 .（13） 若直线上存在点满足约束条件则实数的取值范围为 .（14） 设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，那
3、么称为集合的聚点.则在下列集合中 ； ； ； 整数集. 以0为聚点的集合有 .（请写出所有满足条件的集合的编号）三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15） （本题满分13分）已知函数,.（）求函数的最小正周期与单调增区间；（）求函数在上的最大值与最小值.（16） （本题满分13分）已知数列满足：，.数列的前项和为，.（）求数列，的通项公式；（）设，.求数列的前项和.（17） （本题满分13分）已知函数.（）求的单调区间；（）若，求函数图象上任意一点处切线斜率的取值范围.（18） （本题满分13分）如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直
4、线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,.（）问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?（）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?（19） （本小题满分14分）已知函数（）若为的极值点，求实数a的值；（）若在上为增函数，求实数a的取值范围.（20） (本小题满分14分) 已知，或1，对于，表示U和V中对应位置的元素不同的个数（）令，求所有满足，且的的个数；（）令，若，求证：；（）给定，若
5、，求所有之和北京四中高三年级期中数学（理）答题卡班级 学号 姓名 成绩 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1ABCD2ABCD3ABCD4ABCD5ABCD6ABCD7ABCD8ABCD二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.10.11.12.13.14.三、解答题（本大题共6小题，共80分）15（13分）请在下列边框答题，超出边框区域的答案无效16（13分）请在下列边框答题，超出边框区域的答案无效17（13分）请在下列边框答题，超出边框区域的答案无效18（13分）请在下列边框答题，超出边框区域的答案无效19（14分）请在下列边框答题，超出边框区域的答案无效20（
6、14分）请在下列边框答题，超出边框区域的答案无效参考答案一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678答案DCADDBDA二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分988102111221314三、解答题：本大题共6小题，共80分15.解： .（）的最小正周期为 令，解得，所以函数的单调增区间为.（）因为，所以，所以 ，于是 ，所以.当且仅当时 取最小值 当且仅当，即时最大值.16解: （）由得，又，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，于是，.当时，当时，又时，所以，. （）由（）知，所以.所以 (1)等式两边同乘以得(2)(1)-(2)得所以.17.解：（）函数的
7、定义域为. 当时，在上恒成立，于是在定义域内单调递增.当时，得当变化时，变化情况如下 + 极小值所以的单调递增区间是，单调递减区间是.综上，当时，单调递增区间是，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.（）当时，令， 则，故为区间上增函数，所以，根据导数的几何意义可知.18解: （）, 根据得,所以乙在缆车上的时间为（min）.设乙出发（）分钟后,甲、乙距离为,则时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. （）由正弦定理得(m). 乙从出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达.设乙步行速度为,则.解得. 为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速
8、度应控制在范围内. 19. （）解：1分因为x = 2为f (x)的极值点，所以 2分即，解得：a = 0 3分又当a = 0时，当时，时，从而x = 2为f (x)的极值点成立 6分（）解：f (x)在区间3，+)上为增函数，在区间3，+)上恒成立 8分当a = 0时，在3，+)上恒成立，所以f (x)在3，+)上为增函数，故a = 0符合题意 9分当a 0时，在区间3，+)上恒成立令，其对称轴为a 0，从而g (x)0在3，+)上恒成立，只要g (3)0即可，由，解得：a 0， 13分综上所述，a的取值范围为0， 14分来20. 解：（）； 4分（）证明：令，或1，或1；当，时，当，时，当，时，当，时，故 9分（）解：易知中共有个元素，分别记为 的共有个，的共有个 = = 14分法二：根据（）知使的共有个=两式相加得=
