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1、实数【无理数】1- 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环” 这两个条件。2- 常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率兀以及含有兀的一些数，如：2-兀，3兀等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01.（两个1之间依 次多1个0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-兀是无理数（4）无理数乘或除以一个不为0的有理数结果是无理数。如2兀，（5）开方开不尽的数，口:七2 *539等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如:”等；无理数也不一定带根号，如：兀）3.有理数与无理数的区别
2、：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不 能写成分数形式。例：（1）下列各数：3.141、0.33333、5 -、7、丸、寸2.25、一 3、0.00003 （相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有；是无理数的有。（填序 号）（2）有五个数:0.125125，0.01，-兀，七4,32其中无理数有（ ）个算术平方根:1. 定义：如果一个正数x的平方等于a，即x2 = a，那么，这个正数x就叫做 a的算术平方根，记为：“、折”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。
3、例如32=9，那么9的算术平方根是3，即l = 3。特别规地，0的算术平方根是0，即，. = 0,负数没有算术平方根2. 算术平方根具有双重非负性：（1）若& 有意义，则被开方数a是非负数。 （2）算术平方根本身是非负数。3. 算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的 相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它 只表示为：、a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：土拓。例：（1）下列说法正确的是（）A. 1的立方根是土 1；B. *4 2 ；(C)、81的平方根是土 3 ；( D)、0没有平方根；(2) 下列各式正确的是()v；81 =9
4、134丸|=丸一34.27 =9；3 0)2. 性质：(1) 一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；(2) 0只有一个平方根，它是0本身； (3)负数没有平方根例(1)若侦X的平方根是2，则乂=； vi6的平方根是(2)当x 时， 0)与寸a2的性质(1)(函)2 = a(a 0)如：7)2 = 7 (2) %a2 =1 a I 中，a 可以取任意实数。如,52 =|51= 5 例：1.求下列各式的值(1)52(2) F(3)( 522.巳知(a 1)2 = a 1，那么a的取值范围是。3.巳知2 V x V 3,化简 (2-x)2 + I x 31=。立方根1.定义：一般地，如果以个数x的
5、立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫 做a的立方根(也叫做三次方根)记为嬴，读作，3次根号a。如23=8,则2 是8的立方根，0的立方根是0。2. 性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方 根是它本身的数有0,1，-1.例：(1) 64的立方根是 (2)若展=2.89,3.福=28.9，则b等 于（3）下列说法中:土 3都是27的立方根，3 =儿如64的立方根是2,其中正确的有（）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个比较两个数的大小：方法一：估算法。如3V、.B V4方法二：作差法。如ab则a-b0.方法三：乘方法.如比较2、.码3方的大小。例：比较下列两数的大
6、小（1）v103与-5寸2与关522【实数】定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0,最大的负整数是-1。（2）实数也可以分为正实数、0负实数。实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是-（a尹0）；实数a的绝对 a值|a|二;必-0），它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。I-a（a ”或“”).3 V10，-、*320(4) 数一*7,2,-3的大小关系是(C、x：a + bD、6、门A.-5 -3 - 2B.-3f7 -2c. -2 -*7 -3d.一3 -2 -寸7(5) 将下列各数：2,3 8,3,-1 -把,用
7、“”连接起来;若 Ia| = 3,扬=2，且 ab 0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数注意：(1)从形式上看二次根式必须有二次根号“：，如十9是二次根式，而R=3,3显然就不是二次根式。(2)被开方数a可以是数，也可以是代数式。若a是数，则这个数必须是 非负数；若a是代数式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则没有意义。例：下列根式是否为二次根式(1)(-3(2) v I - 31(3) t-a(4)2t-3二次根式的性质：性质1:、.福=、如思(a 0,b 0)积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质也可以对二次根式进行化简。性质2：、：a = W(a ，b 0)商的算
8、术平方根等于被除数的算术平方根 除以除数的算术平方根。最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的 二次根式，叫做最简二次根式。例：1.化简：. 一：T(1)、12 X15(2) 127a4b2(b 0)(3)V 9 x2. 计算：3. 巳知：G 7* = 121,(y +1 = 0.064，求代数式 tx 一 2 匕：x +10y + 3245y 的值。4.（提高题）观察下列等式：回答问题:.1 + - + - T + 1 -12221 1 + 1、：口 + 上=1 + 1-上=11 22 322 2 +1 6：1 + 土 + 土 =1 +1-上=1土32 423 3 +112根据上面三个等式的信息，请猜想1+土+土的结果;（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式，并加以验证。
