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1、二项式定理第 1 课时一、容和容解析容：二项式定理的发现与证明容解析：本节是高中数学人教A 版选修 2 3 第一章第 3 节的容二项式定理是多项式乘法的特例， 是初中所学多项式乘法的延伸， 此容安排在组合数模型之后， 随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用， 也是为学习二项分布作准备 另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数， 由二项式定理可以导出一些组合数的恒等式， 这对深化组合数的认识有好处。由于二项式定理的发现， 可以通过从特殊到一般进展归纳概括， 在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型， 因此， 这局部容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值教学中应当引起充分重视
2、二、学情分析这一堂课是面对高二学生。 学生已经初步具备了多项式乘法， 同类项合并， 排列计数原理， 组合数计数原理以及归纳推理等知识储藏。 能够在教师的引导下理解并掌握本节课中的推理演绎过程。但是，学生的自我探究，归纳，分析的能力还有待提高。三、课程学习目标 1知识目标：使学生掌握二项式定理及推导方法，二项式展开式、通项公式的特点，并能利用二项式定理计算或证明一些简单问题。 2能力目标：在学生对二项式定理形成的参与讨论过程中，培养学生观察、猜测、归纳的能力，以及学生的化归意识及知识迁移能力。 3情感目标：通过二项式定理的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学在的和谐、对称美及数
3、学符号应用的简洁美。四、设计思想：本课采用合作探究、 自主学习、 合作交流的研究性学习方式， 重点放在定理的形成、证明的探究及定理根本应用上，在知识的形成、开展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。目标解析： 1二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律 但归纳概括的结论， 如果不加以严格的证明不符合数学的根本要求因此， 在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论， 还能为证明二项式定理提供方法 2由于二项展开式是一个复杂的多项式如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应
4、用， 学生很难短期对定理有深入的认识 因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径 3数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找时机去落实 在二项式定理的教学中， 从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进展数学抽象教学的很好时机； 同时利用组合计数模型证明二项式定理， 以及利用二项式定理这个模型解决问题，也是进展数学建模教学的好时机基于上述分析，本节课的教学重点定为：发现并证明二项式定理五、教学重点与难点：重点： (1) 使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，掌握二项式定理； 2 能正确应用二项式定理解
5、决一些简单的问题。难点 : (1) 二项式系数与组合数之间的联系； 2 二项展开式的应用及一些易混淆的概念。六、教学策略分析数学是一门培养人的思维开展的重要学科。因此，在教学中让学生自己发现规律是最好的途径。正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之，深固之。本节课的教法贯穿启发式教学原那么以启发学生主动学习， 积极探求为主， 创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境，采用引导发现法，由学生熟悉的多项式乘法入手， 进展分析， 又可利用组合的有关知识加以分析、 归纳， 通过对二项展开式规律的探索过程， 培养学生由特殊到一般， 经过观察分析、猜测、归纳证明来解决问题的数学思想方法，培养了
6、学生观察、联想、归纳能力。不仅重视知识的结果，而且注重了知识的发生、发现和解决的过程，贯彻了新课程标准的教学理念，培育了本节课容最正确的“知识生长点， 这对于学生建立完整的认知构造是有积极意义的七、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图问题1今天是星期五，7天后的这一天是星期教师 学生 教师1 :1 :2:提出问题1. 学生思考.提出问题2.问题引入.几呢？学生2:学生思考.回顾、之， 刖15天后的这一天呢？教师3:写出并观察(a b)1、(ab)2、问题2M民设今天是星期五，再过8100天后的 那一天是星期几？的展开式，你能得到哪些规律？学生3：利用多项式乘法得出(a式.教师4：引
7、导学生分析(a b)1、b)3(a的展开b)2、提出问题.知问题3为了解决问题2,需要用到(a b)n的(a b)3学生4:的展开式特点探究(a b)4的展开式。引导学生通 过对特殊情 形的观察， 归纳猜测一 般情形的根引展开，你认为这个展开本特征.出猜想式式会怎样呢？教师学生5:5:(a b)5的展开式是怎样的？发现项数、项的次数、项的系数并猜教师引导，学生根据所测：(ab)5的展开式得具体的展 开式，从展 开式中的项数、项的次数、项的系 数等角度进展归纳，并 根据归纳所得猜测一般 的展开式的 结果.学生体会由 特殊到一般 的归纳猜测 的过程.问题4猜测一:教师6:提出问题3.学生6:引起思
8、考，并提出想法.(a b)nan1an 1b教师7:提出问题：n k| k ka bnb n 23-3 333_2|_|_23在(a b)0a1a b 2ab3b一般问题回中的k ?中，为什么“ o 1 ,i 3 ,2 3 ,到特殊情形 进展研究.3 1 ?学生7:学生根据所得的计算结果，观察得到 展开式的项的特点：展开式中的每一项为哪一 项由每个括号中“取且只取 一个字母相乘得把问题回到探到的.(a b)展开式中的项3ab是由aab , aba ,的构造进展 处理.寸baa后合并同类项得到.从三个括号中的一个规括号选择 b 剩余两个括号选择 a 构成律的，因为从三个括号中的一个括号选择“b，
9、一旦确定哪个括号选“b ,剩余两个括号选学生通过计 算器得到计狄择也就确定了，因为“ b后二种选择，所以算结果.得C2.对应同类项的个数就为3,即“ a b 的系数结论为3 .教师8:能否用计数模型进展解释？学生8： a2b可以看成是从三个括号中选择 一个括号选“ b ”,剩余两个括号选择“ a”, 完成这件事的所后可能，要做这件是，我们可力烘网”，卜兀欠.弟、队-1招中3用个括号选“ b，有C；种选择；第二、剩余两教师通过引 导学生对展个括号选择a就C； 1种选法，故有c3 i cl种选法，所以，1 c3 .依此可以得到其它系数的组合数形式：(a b)3 C0a3 C；a2b C32ab2
10、C；b3.教师9:根据所得(a b)3展开式的规律，你能否得猜测(a b)n的展开式中0, 1, , k, , n 的值？学生9:n0 n1 n 1knk k(a b)CnaCna bCna bCnnbn开式各项构 成的观察， 得到项的构 成.通过特殊与 一般的项的 关系比照， 得到对系数 意义的理 解.根据展开式 系数即同类 项的个数这 一结论，引 导同学们通 过一般到特 殊，用组合 计数模型对 各项系数进 展研究.得到展开式 系数的猜 测.问题5你能证明教师10:提出问题3.学生10:提出想法.由归纳猜测 到理论证 明.(a b)nC0an C；an 1bCkan kbkC：bn(n N
11、)吗？教师11:你认为证明问题 3,关键是几步？学生11:1项的构造；2项的系数.教师12：证明：（a 坊“是口个（a b）相乘，根据多项式的乘法，展开式每一项都满足引导提炼学 生提炼证明 要点.强调规表 达.证an kbkk 0,1, ,n.明对项式廿k 0,1, ,n看成问题：止从n个括号中选择k个括号选“ b ,剩余括理号选才i a”,相乘而成.可这样设计计数模型，要做这件事，可分成两步来完成：第一、从n个括号中选择k个括号选“ b ”,明有Ck种选择；晰第二、剩余括号选择 a”就Cn k 1种选法，概根据分步计数原理有C： 1 Ck种选法.念所以，项an kbk的同类项有C：,故an
12、kbk的系数为 Ck k 0,1,n.所以，（a b）n展开式每一项满足 C：ankbkk 0,1, ,n.问题6从数列的角 度看二项式展开式，你 能获得什么认识？问题7你能根据 (a b)n的展开式得出 (a b)n的展开式吗？课堂练习1(1)求(1 x)n 的 式；(2)求(2 JX g)6 的展 开式.课堂练习2求(x 1)9展开式中X3 X的系数.教师13:上述公式叫二项式定理，展开式共有n 1项，其中各项的系数 Ckk 0,1, M叫做二项式系数.教师14:提出问题4.学生14：二项展开式可以看成是一个数列的和，数列的通项公式是C：an kbk,表示数列第k 1项.教师15:二项式展
13、开式的通项是展开式中第k 十工_ k n k kk 1 项：Tk 1 Cna b .教师16:引例：今天是星期五，假设8100天后的这一天是星期几呢？解：-.100z100入 0100入 199入 r 100r8(71)Cioo7Cioo7Cioo7._ 99 r . _ 100 r 0 + +c 100 7+c 100 7；8100被7除的余数是1,因此8100天后的这 一天是星期六.教师17:例1:求(1+2x)5的展开式.求(1-2x)5展开式第三项以及其二项式系数，求x3项的系数师生共同完成。教师18:布置课堂练习1、2.学生15:完成课堂练习。明晰概念.学生从数列 的角度获得 对二项式展 开式的再认 识.让学生体会 利用二项式 定理模型进展计算，感受数学模 型的在数学 应用中的价 值.课堂练习 1熟悉二项式 定理模型.课堂练习 2让学生体 会用通项公 式表小展开 式的简洁 性.问题8你从二项式定理的发现、证明与应 用的过程中体会到一 些什么？教师18:提出问题6.学生16:本节课获取一项式定理的过程：先由特殊察（a3
