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1、菱形的性质与判定典型例题例1如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE丄AB,AB=a,求:AEE（1），ABC的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积.例2已知：如图，在菱形ABCD中，CE丄AB于E,CF丄AD于F.求证：AEAF.例3已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点,D=,EAF=60。，,BAE=18。，求,CEF的度数.例4如图，已知四边形ABCD和四边形BEDF都是长方形，且AD=DF.求证：GH垂直平分CF.#/5例5如图，口ABCD中，AD2AB,E、F在直线CD上，且DECDCF求证：BE丄AF.例6如图，在RtABC中，,ACB=
2、90。，E为AB的中点，四边形BCDE是平行四边形.求证：AC与DE互相垂直平分#/5参考答案例1分析(1)由E为AB的中点，DE丄AB,可知DE是AB的垂直平分线,从而AD二DB,且AD二AB,则,ABD是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出.(2)而AC丄BD,AO=OC，利用勾股定理可以求出AC.(3)由菱形的对角线互相垂直，可知S=-AC-BD.2解(1)连结BD,T四边形ABCD是菱形，AD二AB.E是AB的中点，且DE丄AB，AD二DB.,ABD是等边三角形，ADBC也是等边三角形.ZABC二60。2二120.(2) T四边形ABCD是菱形，AC与BD互相垂直平分，OB=BD=AB
3、=a.22213OA=AB2OB2=a2(a)2二a，:AC=2AO=3a.221 13(3) 菱形ABCD的面积S二AC-BD=3a-a二a2.2 22说明：本题中的菱形有一个内角是60的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点.例2分析要证明AE=AF，可以先证明BE=DF，而根据菱形的有关性质不难证明ABCE兰ADCF，从而可以证得本题的结论.证明四边形ABCD是菱形，BC=CD,ZB=ZD，且ZBEC二ZDFC二90，ABCE二,DCF，BE二DF，AB二AD，ABBE二ADDF，AE二AF.例3解答：连结AC.四边形ABCD为菱形，ZB二ZD二60，AB二BC二C
4、D二AD.ABC与CDA为等边三角形.AB，AC,ZB，ZACD，ZBAC，60。/ZEAF，60。,ZBAE，ZCAF ABEACF:.AE，AF/ZEAF，60。,EAF为等边三角形.ZAEF，60。/ZAEC，ZB+ZBAE，ZAEF+ZCEF,:.60。+18。，60。ZCEF ZCEF，18。说明本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC，证ABEACF例4分析由已知条件可证明四边形BGDH是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明GH垂直平分CF.证明：四边形ABCD、BEDF都是长方形 DE/BF，AB/CD，ZDFH，ZBCD，90，AD，B
5、C四边形BGDH是平行四边形/AD，DF,DF，BC在厶DFH和厶BCH中ZDFH，ZBCHZDHF，ZBHC、DF，BCDFH处BCH:.DH，BH,HF，HC四边形BGDH是平行四边形四边形BGDH是菱形GH平分ZBHD:.GH平分ZFHCHF，HCGH垂直平分FC.例5分析要证BE丄AF，关键是要证明四边形ABHG是菱形，然后利用菱形的性质证明结论.证明四边形ABCD是平行四边形AB/CD,AB二CD,AG/BH,A,1二,E/CD=ED,.AAB二ED,1=,E在厶ABG和EDG中,2=,3AB=EDAABG竺DEGAAG=GD/AD=2ABAAG=AB同理：AB=BHAAG=BH/AG/BHA四边形ABHG是平行四边形AB=BHA四边形ABHG是菱形AAF丄BE.例6分析要证明AC与DE互相垂直平分，只要证明四边形ADCE是菱形.所以要连结AD证明在RtABC中，E为AB的中点AAE=CE=BE四边形BCDE是平行四边形ACD/AB，CD=BEACD/AE，A四边形ABCE是平行四边形AE=ECA口ADCE是菱形AAC与DE互相垂直平分.#/5
