《n阶行列式的计算方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《n阶行列式的计算方法（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、n阶行列式的计算方法徐亮(西北师范大学数信学院数学系,甘肃兰州730070)摘要：本文归纳总结了n阶行列式的几种常用的行之有效的计算方法，并举列说明了它们的应运.关键词：行列式，三角行列式，递推法，升降阶法，范得蒙行列式TheCalculatingMethodoftheN-orderDeterminantXuLiang(CollegeofMathematicsandInformationScience,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu,China)Abstract:Thispaperintroducessomecommonandeffe
2、ctivecalculatingmethodsofthen-orderdeterminantbymeansofexamples.Keywords:determinant;triangulairedeterminant;upanddownorder;vandermondedeterminant行列式是讨论线形方程组理论的一个有力工具，在数学的许多分支中都有这极为广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具，它是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算是非常必要的.行列式的计算问题多种多样，灵活多变，需要有较强的技巧.现介绍总结的计算n阶行列式的几种常用方法.1 .定义法应用n阶
3、行列式的定义计算其值的方法，称为定义法.根据定义，我们知道n阶行列式这里j/L jnaiia12Laina2ia22La2nMMLManian2Lannjlj2L jn(1)(jlj2Ljn)aijia2j2L am. .表示对1,2,L ,n构成的所有排列ji,j2,L , jn求和.例1 .计算n阶行列式Dnaibiaib2La2bla2b2LM M L anbianb2La bn a2 bnManbn解：当n i时，Daibi ;当n2时，D当n3时,aibna2 aMan aia1bla1b2Lriria2a1a2alLi2，L，nMMLanQa。aL（riri）表示第一行乘（1）加到
4、各行上.故a1bln1Dn(aia2)(nb2)n20n3由定义知n阶行列式的展开式有n!项，计算量很大，它主要应用于行列式中许多元素为零的情况.2 .提公因式法根据行列式的性质，把一个行列式中某行（列）所有元素的公因子提到列式符号的外边的方法称为提公因式法.即a11a12Lana11a12La1nMMLMMMLManai2Laina1ai2LainMMLMMMLMan1an2Lan3an1an2Lan3例2.计算n阶行列式解:Dna b b MLLLLLb b bMri(n1)b1 b bM(n1)b (abb)nDnLLLLLa b b M bab Mbrn1 b bMLLLLLb b b
5、 b(n bMb1)b(naMb1)bLLLL(n 1)bbM(n1)b1 b b M0a b0M00a bMLLLLL000 M3 .化三角形法利用行列式的性质，将行列式化为上（下）三角行列式,然后再计算行列式的值的方法称为化三角形法.此种方法是把给定的行列式表示为一个非零数与一个三角形行列式之积.所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式，三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的n阶行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的n阶行列式等于次对角线上的元素之积且带符号总结如下:(1)ana1O0an（对角形）（上三角形）(2)aiN0anaiN0（次对角形）（次上三角形）
6、例3.计算n阶行列式Dnab M bLLLL解：将行列式的第i列都加到第1歹I,a10Oan（下三角形）0a1Nan（次下三角形）2,3, L,na1a2an .n n 11aia2an .1列元素都相同,再提出公因式an1b,得Dna n 1 b1bLb0abL0MMLM00 L a bn 1a b例4.计算n阶行列式X1mX2X1X2 mDX1X2MMX1X2a n 1 b解：将行列式的第i列都加到第1歹I,X3 LXnX3 LXnX3m LXn*M LMX3 L Xn m2,3, L ,n ,第1列元素都相同，再提n出公因式Xim,得i1nXmx2x3Li1nXmx2mx3Li1nXmx
7、2x3mLi1MMMLnxmx2%LxnxnxnMxnmnximi 11x21 x m1x2M M1x21x20 m00M M00x3 x3x3 mMx3x3L0 L m LM L0 LLxnLxnLxnL MLxnmxn00Mmi14.降阶法利用行列式的性质，将行列式的阶数化低；然后再计算行列式之值的方法称为降阶法.根据行列式按行（列）展开法则：n阶行列式D等于它的任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和.即DaAai2A2Lani1,2,L,nDa1jAja2jA2jLanjAnjj1,2,L,n值得注意的是在使用时应先利用行列式性质,将某一行（列）元素尽可能多地化成零，然后
8、再展开，使计算简便.例5.计算n阶行列式Dn解：将行列式按第一列展开,Dnxx00M0yx0M00yxM00LLLLLL000M000Mx0M00yxM00LLLLL例6.计算n阶行列式yxM00yM00LLLLL00M0123M234M1345M2LLLLn12Mn1解：将行列式的第i列都加到第1列,i2,3,L,n,再从第1列中提出公因式从第n1LLLLL行开始，各行乘1加到下1行，得:100M0n2211M1n311M1LLLLLn1M111M1LLLLn1M1其中D1n1M1LLLLnn211M1-D1将D1用三角形法各行减去第1行，得D1LLLL1n1M0将D1代入5.升阶法n1M1
9、n1M0n0M11n0M1前面介绍了在计算行列式时利用依行（列）展开定理使行列式降阶，从而使问题简化.有时与此相反，即在原行列式的基础上添加一行（列），使其升阶构造一个容易计算的新行列式，从而求出原行列式的值，这种计算行列式的方法称为升阶法.凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行元素成比例.升阶时，新行（列）由哪些元素组成，添加在那个位置，这要根据原行列式的特点作出适当的选择.例7.计算n阶行列式2caaa2Laana2al2ca2La2anMMLMandana2L2canDn*解：将原行列式添加1行1歹I，得1aa2Lan02ca1a1a2L
10、晌0a?a12ca2La2anMMMLM0andana2Lca；Dn2n将第1行乘（a）后，加到第i1行，得1a1a2Lan现c0L0a20cL0MMMLM将行列式的第j列分别乘c 1aj 1 ,an00Lcj2,3,L,n1,加到第1歹I，就可以变为上三角形行列式，其对角线上的元素为n121cai,c,c,L,c.nn n 12c c a.i 1i1nn12Dnc1caii1例8.计算n阶行列式1a11L111a21L1111a3L1MMMLM111L1aD解：将原行列式添加1行1歹I，得000Ma11将第1行乘1加到其余各行上去,将第i列分别乘-,iai2,3,L,n变化为上三角形行列式,例9.计算n阶行列式解：将原行列式添加1a21Ma100Ma20Ma3Mana3M000Man全部加到第1列,得i1000Maia100Ma20Maia1a2a1行1歹I,xa2a2Ma2a3Ma3xa3Ma3LLLLL000ManananMxan1a1a2a3Lan0xa1a2a3Lan0a1xa2
