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1、高中数学2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程课堂探究新人教B版必修22.3.1 圆的标准方程课堂探究探究一 直接法求圆的标准方程(1)由圆的标准方程(xa)2(yb)2r2可知，圆心为(a，b)，半径为r，它体现了圆的几何性质；圆的标准方程(xa)2(yb)2r2中有三个参数a，b，r，只要求出a，b，r，圆的方程也就确定了，因此确定圆的方程需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件(2)几种特殊形式的圆的标准方程条件方程形式圆心在原点x2y2r2(r0)过原点(xa)2(yb)2a2b2(a2b20)圆心在x轴上(xa)2y2r2(r0)圆心在y轴上x2(yb)2r2(r0)
2、圆心在x轴上且过原点(xa)2y2a2(a0)圆心在y轴上且过原点x2(yb)2b2(b0)与x轴相切(xa)2(yb)2b2(b0)与y轴相切(xa)2(yb)2a2(a0)与两坐标轴都相切(xa)2(yb)2a2(|a|b|0)【典型例题1】 (1)圆心是C(3,4)，半径长为5的圆的方程为()A.(x3)2(y4)25 B(x3)2(y4)225C(x3)2(y4)25 D(x3)2(y4)225解析：因为圆心是C(3,4)，半径长为5，所以圆的方程为(x3)2(y4)225.答案：D(2)已知点A(4，5)，B(6，1)，则以线段AB为直径的圆的方程为_解析：AB的中点坐标即为圆心坐标
3、C(1，3)，又圆的半径r|AC|，所以所求圆的方程为(x1)2(y3)229.答案：(x1)2(y3)229探究二 待定系数法求圆的标准方程1待定系数法求圆的标准方程，需求出圆心和半径，即列出关于a，b，r的方程组，求出a，b，r.一般步骤如下：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2；(2)根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；(3)解方程组，求出a，b，r，代入圆的方程中，求出圆的标准方程2有时求圆的方程时，用上初中所学圆的几何性质往往使问题容易解决圆的常用几何性质如下：(1)圆心在过切点，且与切线垂直的直线上；(2)圆心必是两弦中垂线的交点；(3)不过圆心的弦
4、，弦心距d，半弦长m及半径r满足r2d2m2；(4)直径所对的圆周角是90，即圆的直径的两端点与圆周上异于端点的任意一点的连线互相垂直【典型例题2】 一个圆经过两点A(10,5)，B(4,7)，半径为10，求圆的方程思路分析：本题考查了圆的标准方程的求解，可根据题目中的条件，利用待定系数法求解解法一：设圆心为(a，b)，则整理得7ab150，即b7a15.将代入得a26a80，所以或故所求圆的方程为(x2)2(y1)2100或(x4)2(y13)2100.解法二：线段AB的中点坐标为(3,6)，kAB，则线段AB的垂直平分线方程为y67(x3)，即y7x15.设圆心为(a，b)，由于圆心在AB
5、的垂直平分线上，所以b7a15.又因为(a10)2(b5)2100，将代入可得a2或a4.(以下同解法一)【典型例题3】 求下列圆的方程：(1)圆心在直线y2x上，且与直线y1x相切于点(2，1)；(2)圆心C(3,0)，且截直线yx1所得的弦长为4.(3)已知一个圆关于直线2x3y60对称，且经过点A(3,2)，B(1，4)思路分析：利用圆的标准方程，把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解解：(1)设圆心为(a，2a)，半径为r，则圆的方程为(xa)2(y2a)2r2.由解得所以所求圆的方程为(x1)2(y2)22.(2)设圆的半径为r，则圆的方程为(x3)2y2r2，利用点到直线的距离公
6、式可以求得d2，所以r2.所以所求圆的方程为(x3)2y212.(3)AB的垂直平分线为y1 (x2)，即x3y10.因为圆心在弦AB的垂直平分线上，也在对称轴上，则由得即圆心为， 所以半径为r.所以圆的方程为(x7)2.探究三 点与圆的位置关系判断点P(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有几何法和代数法两种：(1)对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小；(2)对于代数法，主要把点的坐标代入圆的标准方程，左端与r2比较【典型例题4】 已知在平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(1,2)四点，这四点能否在同一个圆上，为什么？思路分析：先确定出
7、过其中三点的一个圆的方程，再验证第四个点是否在这个圆上，即可得出答案解：设经过A，B，C三点的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.把A，B，C的坐标分别代入，得解此方程组，得所以，经过A，B，C三点的圆的标准方程是(x1)2(y3)25.把点D的坐标(1,2)代入上述圆的方程，得(11)2(23)25.所以，点D在经过A，B，C三点的圆上，即A，B，C，D四点在同一个圆上探究四易错辨析易错点：因考虑问题不全面而致误【典型例题5】 已知圆C的半径为2，且与y轴和直线4x3y0都相切，试求圆C的标准方程错解：由题意可设圆C的标准方程为(xa)2(yb)24，又圆C与y轴相切，可知a2，又圆C与4x3y0相切，可知2，解得b6或b.所以圆C的标准方程为(x2)2(y6)24或(x2)24.错因分析：圆C与y轴相切意味着|a|2，而不是a2.正解：设圆C的标准方程为(xa)2(yb)24，由题意可得|a|2，即a2.当a2时，由圆C与4x3y0相切，得2，解得b或b6；当a2时，由2，解得b6或b.综上可知，满足条件的圆C的标准方程为(x2)2(y6)24或(x2)24或(x2)2(y6)24或(x2)24.1
