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1、“有限元法基础及应用”补充讲义（一）顾克秋（2005 年 3 月），、引子弹簧单元与弹簧系统目标：掌握离散结构直接刚度法分析的原理和形式。了解有限元位移法列式的形 式和基本概/念O1、典型弹簧单元分析Linear弹簧单元描述:弹簧的物理特性:Nnnlincar图1-12个节点已知弹簧力一一位移关系：F = k:移：比u j节点k-弹簧刚度力：花,f j单元自由度：2.: = U j U |弹簧伸长量F -弹簧力，拉伸为正考虑弹簧变形平衡时的条件和弹簧物理特性，得到下列方程:F - - F-k(Uj -小)二 ku-kui_(1-1)fj 二 F = k(uj -u) kuku j写成矩阵形式:
2、-kki u : t卜lujJ(1-2)写成矩阵符号形式:(1-3)式（1-2）、（1-3）为弹簧单元的刚度方程，反映了单元特性：节点力与节点位移之间的 关系。式中：-弹簧单元的刚度矩阵 -单元节点位移列阵 -单元节点力列阵（注意：单元节点力是节点对单元的作用力）弹簧单元刚度方程讨论：1）k有何特点？对称、奇异、主对角元素恒正2） k中元素代表什么含义？刚度系数大小等于弹簧刚度；每列元素代表一端固定、另一端产生单位位移时加在 弹簧单元上的节点力。3）上面单元刚度方程可以求解吗？为什么？不可以。刚度方程仅仅表征一个典型单元的弹性特性，单元水平上无法确定单元节 点位移。只有把系统中所有单元特性集成
3、后，在系统水平上才可能求出所有未知位移和 反力。单元水平上，若已知单元的节点位移，可由刚度方程求出所有单元节点力分量。 若节点力已知，单元节点位移不能确定，单元可作刚体运动（小位移）。这也是单元刚 度矩阵奇异性的物理解释。2、弹簧系统整体分析原理kf kj以右图的一个弹簧系统为例，研究如何由单元特性集成系统特性并建立对系统进行求解的控制方程。由前面得到的弹簧单元的刚度方程公式（1-2），分别写出2个弹簧单元的特性方程如下：图1-3I单元 1（1-4）|_一告1 k u2单元 2 k 03 =（1-5）（注：右端节点力分量的下标1, 2为单元节点的局部编号，上标是单元号）下面按两个方法完成系统特
4、性的装配和控制方程的建立。并在特定条件下求 解。1）由节点平衡方程导出：系统处于平衡时，考虑各节点（1, 2, 3节点）的平衡条件：节点受到的外载荷与节点受到与其连接的所有单元对其作用力（单元节点力1 2F2 = f 2f 1r（ 1-6）F3 二 f2的反作用力）之和等于零。因此有下列（节点）平衡方程（组）：把单元特性（1-4）,（ 1-5）代入（1-6）得到：写成矩阵形式:0叶kk1归可U2卜一VF2-k德（陷2如，2kF3 二-k2U2k2U3（1-8）（1-7）或矩阵符号形式:KD - F（1-9）式（1-8 ） ,（1-9）就是系统平衡方程，该方程建立了离散系统的外载荷与节 点位移之
5、间的关系，是求解节点位移的控制方程。-弹簧系统的结构总刚度矩阵-系统节点位移列阵一系统节点载荷列阵讨论:K有那些特点和性质?（2）上述方程能求解吗？2）由单元刚度方程叠加导出将单元1, 2的刚度方程(1-4),（1-5）进行增广（扩大到系统规模）：k -01fJ0 *、二弋000Jk,_0 00 尸00 k20 k1宅U2 -卜（1-11）（1-10）上述两个矩阵方程叠加 处一人 -何匕+心0-k2，0 11得:r.Z1k2I凭上式中代入节点力平衡关系（1-6），就得到与（1-8 ）相同的节点平衡方程。上述两种 方法都必须考虑1）单元特性集成；2）离散结构的节点上外载荷（系统外力）与节点力（系
6、 统内力）的平衡。因此方程（1-8）的本质是节点的力平衡关系，左边是由节点位移表示的 （总）节点力，右边是节点所受夕卜载荷。3）给定载荷和约束条件下的求解 设边界条件为:比=0F2 二 F3 二 P则节点平衡方程（1-8 ）变化为:(1-13)&0 0”二,P(1-14)该方程组展开后分为2个部分:第2, 3个方程变化为:(1-15)第1个方程变化为:先后解方程（1-15 ）、（ 1-16）得到:b*:卜(1-9)卜=-2P(1-18)从而解出了系统的未知位移和未知反力，并可以进 步求弹簧力3、例题图1-4所示一个3个弹簧的系统。图1-4k1 = 100 N / mm, kA = 200 N
7、/ mm , k = 100 N /mm , P = 500 N , tb=u = 0:（a）系统总刚度矩阵(b)(c)节点2, 3的位移节点1、4的反力(d)弹簧2中的力解：（a）:写出各单元刚度矩阵:100100-100100(N/mm)200-200-200200(N/mm)100-100-100八100(N/mm)应用叠加法直接得到系统总刚度矩阵:或:10010000100300-20000-200300-10000-100100该总刚度矩阵特点：对称性、奇异性、稀疏、非零元素沿主对角线呈带 状分布。（b）参考前面的做法（1-8）式）和求出的总刚度矩阵，写出系统节点平衡方程：_ 100
8、-10000 _%片TOO 300 -20000(1-19)0-200300-100卜=P_ 00-100100考虑到位移边界条件：”0则平衡方程组（1- 19）第2, 3方程化为:-200 300 la300-200求解上式得：炸膏加gm”）(c)由(1-19)的方程1, 4得:F = 100 迅一200 (N)F4 =-100A =-300 (N)(d):2 2F 二 k2 二-200弹簧2内力为：k2(U3 -U)3 - 2 - 200 (N )(拉力)4、练习题对图示弹簧系统，试用叠加法求其总刚阵的非零度矩阵。并根据节点平衡方程的含义，尝试由各单元刚度矩阵的元素直接写出总刚度矩4,图1
9、-5】、杆单元目标：通过杆单元特性方程的建立，初步掌握有限元法单元分析的过程和原理了解杆系结构 分析的原理。1、等截面杆单元及其刚度矩阵研究2节点等截面杆单元：单元上的力学量和基本关系如下：L一杆长A一截面积E弹性模量du =dx图 2-1杆单元应变杆单元应力（2-1）（2-单元节点力：下面研究杆单元的单元特性。1）直接法导出杆单元特性采用材料力学基本知识对单元进行力学分析：杆单元伸长量：x =u j -耳（2-3）u = u(x)(x)应变一位移关系:单元节点位移:应力一应变关系:杆应变： =L杆应力：-E巳)L杆内力：EAAEALL(2-5)(2-6)杆的轴向刚度:EA k =I(2-7)
10、由于轴向变形模式下，杆单元的行为与弹簧单元相同，因此可比照弹簧单元的刚度方程（1-2），考虑到（2-7），直接写出杆单元的刚度方程：EA -1-们Ut卜=1t卜(2-9)lfj JL广11luj J写成符号形式：杆单元刚度矩阵为：EA -1-1 1k -(2-10)L 厂11 -2）公式法导出杆单元特性步骤如下：（1）在单元上定义近似位移场把一个单元上的位移分布假设为简单多项式函数。有限元法中用插值法通过节点位移分量作为待定参数来构造单元位移函数对图2-1的杆单元，方便起见引入局部坐标J二三 01由于该杆单兀只有2个未知位移分量，因此单兀上假设的简单位移函数米用一次多项式。故对单元的节点位移进
11、行线性插值则容易定义出节点的插值函数如下:(2-11)因此单元上近似位移函数的插值形式为:巩工)二讥)二M (&)% +(2-12)该位移函数也称为单元的位移模式，这里是线性位移模式式(2-11)中的插值函数又称为形状函数，简称形函数。式(2-12)写成矩阵形式为：上式中N称为单元的形函数矩阵。! 4-Nd(2-13)式(2-13)是有限元法中最重要的关系式之一，移分布函数用节点位移来表示，为进行单元层次上的分析打下了基础通过该式把单元上的近似位(2)单元应变和单元应力由杆一维变形的应变一一位移方程(2-1 )和单元的位移函数(2-13 )求出 单元的应变分布和节点位移的关系:名=du _d=I N d = Bddx dx 一(2-14)式中：B = NiA) NE)】=I1/L dx J1/l(2-15)B称
