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1、判断系稳定性的方法一、稳定性判据（时域）1、 赫尔维茨判据系统稳定的充分必要条件:特征方程的各项系数全部为正;将系统特征方程各项系数排列成如下行列式；当主行列式及其对角线上的各子行列式均大于零时，即A=a 01n-1aa 0A=n-1n-32aann - 2aaan-1n - 3n-5A=aaa 03nn - 2n - 40aan-1n-3A0n则方程无正根，系统稳定.赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成，规律简单明 确，使用也比较方便，但是对六阶以上的系统，很少应用。例；若已知系统的特征方程为S4 + 8s3 + 18s2 + 16s + 根据特征方程，列写系统的赫尔维茨行列式。0 1
2、 18由得各阶子行列式; = 0 试判断系统是否稳定。8 16 0“ 1 18 50 8 160005解：系统特征方程的各项系数均为正数。A1=8=80816=1280A2_ 1188160A=1185 =1728 030816A4=A=8690 0各阶子行列式都大于零，故系统稳定。2、 劳思判据（1）劳思判据充要条件：A、系统特征方程的各项系数均大于零，即a.0；iB、劳思计算表第一列各项符号皆相同。满足上述条件则系统稳定，否则系统不稳定,各项符号变化的次 数就是不稳定根的数目.（2）劳思计算表的求法：A、列写劳思阵列，并将系统特征方程的系数按如下形式排列成列首两行，即：snSn-1Sn 2
3、s n-3aaaann 2n 4n 6aaaan 1n 3n5n7bbbb1234cccc1234S2S1S0uu12v1w1B、计算劳思表a a a an1 n2n nan 1-n5an 1n1n6an 1系数 b 的计算要一直进行到其余的 b 值都等于零为止。 ii用同样的前两行系数交叉相乘，再除以前一行第一个元素的方法，可以计算c,d, e等各行的系数.c1c2c3b a a bn3n 1 2b1b a 一 a b1 n 5n 1 3b1b a 一 a bn7n14b1c b - b c -2:k-2c13）劳思判据的两种特殊情况A、劳思计算表第一列出现零的情况因为不能用零作为除数，故第
4、一列出现零时，计算表不能继续排下去。为解决该问题，其办法是用一个小的正数代替0 进行计算，再令-0求极限来判别第一列系数的符号。B、劳思计算表中出现某一行各项全为零的情况此时，劳思表将在全为零的一行处中断，其解决办法是将不为零的最后一行的各项组成一个“辅助方程式,将该方程式对s 求导数，用求得的各项系数代替原来为零的各项,然后按劳思计算表的写法继续写完以后各项，对称根可由辅助方程求得。例 1：已知系统特征方程为 S5 + 2S4 + 3S3 + 6S2 + 2s + 1 = 0判别系统是否稳定，若不稳定，求不稳定根的数目。 解：根据特征方程可知，其各项系数均为正.列写劳思计算表并计算得:6s
5、- 3当 -0时，r3 s 23-g, -26s 32S51S42S30）6s 3S2s3s2S126s 3S013261321故第一列有两次变号，系统特征方程有两个正根系统不稳定。例 2:已知控制系统的特征方程为S6 + 2S5 + 8S4 + 12S3 + 20S2 + 16s + 16 = 0试判定系统的稳定性。解：根据系统的特征方程可知其各项系数均为正S6 1820 16S5(21216)S5168列写劳思计算表并计算得：S4(21216)S4168S300因 S3 行各项全为零故以 S4 行的各项作系数，列写辅助方程如S4 + 6s2 + 8将A (s)对s求导，得:ds4s3 +
6、12s再将上式的系数代替S3行的各项系数，继续写出以下劳思计算表:S6182016S5168S4168S3(412)S313S2381S13S08从劳思表的第一列可以看出，各项均无符号变化，故特征方程无正根。 但是因S3行出现全为零的情况，故必有共轭虚根存在。共轭虚根可通过辅助方程求得S4 + 6S2 + 8 = 0其共轭虚根为S1,2 = 土；S3,4 = 2j，这四个根同时也是原方程的 根，他们位于虚轴上，因此该控制系统处于临界状态，系统不稳定。 二、根轨迹法(复域)系统稳定的充要条件:所有的闭环极点都在S平面的左半平面。k例：已知系统的开环传递函数为:I.，试应用根轨迹法分析系统的稳定性
7、.厶Q -2kK*解-(K*=2k)做根轨迹：(a)有三条根轨迹(n=3 m=0 n-m=3 )(b)实轴上山- 1 i - i -为根轨迹段(c)渐近线的夹角与坐标：(2k 4-1-1) +(-2)佻=n-m- 60M80raa -3 1(d)分离点坐标d：111=0d+1d + 2d解得d = 0.4231d = 1.58 （舍去）因为d2不在根轨迹上2(e) 与虚轴的交点坐标:D(S) =S3 I 3S 奈氏判据（奈奎斯特判据） Z二P2N系统稳定时Z=0 + 2S I /r令S=jw代入到式中得：D（） = O尸 I 3（jw）2 I 2（/iv） + K*-vv + 2 iv 0解得
8、：l-3w2 + /* =0故仍二二 1.斗 14了 ：二 1.41斗二二乙根轨迹图如下所示：由开环传递函数在S平面的极点个数P,奈氏曲线绕(-1, j0)的圈数N,得到闭环传递函数在S平面的极点的个 数ZP通过G (S)可知N：顺时针为负，逆时针为正当VM0时,需要做增补线W： 0T从幅相曲线厂位置开始沿逆时针方向画VX90。的圆弧 增补线(理论半径为丁)计算圈数时要包括所画圆弧的增补线 在内。例：某单位负反馈系统的开环传递函数为丫：试用奈氏判据判别闭环稳定性。解：W：n- w幅值趋于0,相角趋于一270。N=-1,P=0, Z=P-2N=2故闭环系统不稳定.2、 对数频率判定系统稳定性P N = /V+=-在截止频率之前，在对数幅频曲线L (W)0。对应的频率范围对应的相角是否穿越一180在VH0时，也需要做增补线，从对数相频特性曲线上二U -处开始,用虚线向上补90。角(补到0或180)例：已知系统的开环传递函数为|试用对数频率稳定判据判别系统闭环的稳定性.解：N十(一1).卩)N= (N+) (N)=OO二P/2
