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1、新版数学北师大版精品资料第4课时反证法1.理解反证法的概念.2.了解反证法的思考过程与特点,掌握反证法证明问题的步骤.3.理解反证法与命题的否定之间的关系.生活中的反证法:妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷霆.有一次,我和爸爸在看电视,妹妹和妈妈在厨房洗碗.突然,有盘子打碎了,当时一片寂静.我说一定是妈妈打破的.为什么呢?问题1:如何证明上述结论呢? 证明:假如,妈妈一定会大骂,当时是没有.所以结论是妈妈打破了盘子.问题2:反证法的意义及用反证法证明命题的基本步骤假设命题结论的成立,经过正确的推理,引出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的证明方法叫反证法.用反证法证明问题的基本步骤
2、:(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;(2)从这个,经过推理论证,得出;(3)从矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.问题3:反证法得出的矛盾的主要类型(1)与已知条件矛盾,(2)与已有公理、定理、定义矛盾,(3)自相矛盾.问题4:适合用反证法证明的试题类型(1)直接证明困难,(2)需分成很多类进行讨论,(3)结论为“至少”“至多”“有无穷多个”类命题,(4)结论为“唯一”类命题.1.否定结论“方程至多有两个解”的说法中,正确的是().A.有一个解B.有两个解C.至少有三个解D.至少有两个解2.用反证法证明命题“如果ab,那么”时,假设的内容应是().A.=B.C.=且D.
3、=或1),用反证法证明:f(x)=0没有负实根.用反证法证明否定性命题设an,bn是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明:数列cn不是等比数列.用反证法证明唯一性命题求证:方程5x=12的解是唯一的.用反证法证明至多、至少等形式的命题实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd1,求证:a,b,c,d中至少有一个负数.已知a,b,c(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.已知a与b是异面直线.求证:过a且平行于b的平面只有一个.若a、b、c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证:a、b、c中至少有一个大于0.1
4、.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用().结论相反的判断即假设;原命题的条件;公理、定理、定义等;原结论.A.B.C.D.2.命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是().A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角3.在用反证法证明命题“若x0,y0且x+y2,则和中至少有一个小于2”时,假设为“”.4.用反证法证明:如果x,那么x2+2x-10.(2013年陕西卷)设an是公比为q的等比数列,(1)推导an的前n项和公式;(2)设q1,证明数列an+1不是等比数列.考题变式(我来改编):答案第4课时反证法知识体系梳理
5、问题1:不是妈妈打破的问题2:反面(2)假设出发矛盾基础学习交流1.C2.D否定结论,可得,即=或.3.不能a、b、c成等差数列,2b=a+c,假设、成等差数列,则=+,(a+c)2=4ac,(a-c)2=0,a=c,从而d=0,与d0矛盾,、不可能成等差数列.4.解:假设存在x00(x0-1),满足f(x0)=0,则=-.又01,所以0-1,即x02,与假设x00(x0-1)矛盾,故f(x)=0没有负实根.重点难点探究探究一:【解析】假设数列cn是等比数列,则(an+bn)2=(an-1+bn-1)(an+1+bn+1),因为an,bn是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为p,q,所以=a
6、n-1an+1,=bn-1bn+1,代入并整理得:2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbn(+),即2=+,当p,q异号时, +2,与相矛盾.故数列cn不是等比数列.【小结】利用反证法证明本题的关键是假设数列cn是等比数列后,根据等比数列的性质找到矛盾.题目利用了等比中项找到an,bn的公比满足的条件2=+,结合不等式的知识可知此式不成立,从而得到矛盾.探究二:【解析】由对数的定义易得x1=log512是这个方程的一个解.假设这个方程的解不是唯一的,它还有解x=x2(x1x2),则=12.因为=12,则=1,即=1.由假设得x2-x10,当x2-x10时,有1;当x2-x10时
7、,有1矛盾,所以a,b,c,d至少有一个负数.【小结】解决本题的关键是假设a,b,c,d都是非负数后,通过怎样的途径来找矛盾.本题给出了两个条件“a+b=c+d=1,ac+bd1”,显然应将这两个条件联系起来,这样很自然地想到利用(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)建立两个已知的关系,从而为找矛盾奠定基础.思维拓展应用应用一:假设三式同时大于,即(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,a,b,c(0,1),三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a,又(1-a)a()2=,同理,(1-b)b,(1-c)c,(1-a)b(1-b)c(1-c)a,这与假设矛盾,故原命题得
8、证.应用二:如图,假设过直线a且平行于直线b的平面有两个,分别为平面和.在直线a上取点A,过b和A确定一个平面,且与、分别交于过点A的直线c、d,由b知bc,同理bd,故cd,这与c,d相交于点A矛盾,故假设不成立,所以原结论成立.应用三:假设a、b、c都不大于0,即a0,b0,c0,所以a+b+c0,而a+b+c=(x2-2y+)+(y2-2z+)+(z2-2x+)=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-3-30.这与a+b+c0矛盾,故a、b、c中至少有一个大于0.基础智能检测1.C反证法是从对原命题结论的否定开始的,故结论相反的判断
9、即假设可作为条件使用,从而原结论不可作为条件应用.同时原命题的条件未改变,也可作为条件来使用,还有一些公理、定理、定义等也可作为条件来使用.2.C3.和都不小于24.解:假设x2+2x-1=0,则x=-1.容易看出-1-,下面证明-1+.要证-1+,只需证,只需证2,上式显然成立,故有-1+.综上,x=-1相矛盾,因此假设不成立,即原命题成立.全新视角拓展解:(1)设an的前n项和为Sn,当q=1时,Sn=a1+a1+a 1=na1;当q1时,Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1,qSn=a1q+a1q2+a1qn,-得(1-q)Sn=a1-a1qn,Sn=,Sn=(2)假设an+1是等比数列,则对任意的kN+,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),即+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,q2k+2a1qk=a1qk-1a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,a10,2qk=qk-1+qk+1,q0,q2-2q+1=0,q=1,这与已知矛盾,假设不成立,故an+1不是等比数列.思维导图构建原命题矛盾
