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1、计算n阶行列式的若干方法举例n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（按照某一列或某一行展开完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。1利用行列式定义直接计算例1 计算行列式解 Dn中不为零的项用一般形式表示为.该项列标排列的逆序数t（n1 n21n）等于，故 2利用行列式的性质计算例2 一个n阶行列式的元素满足则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由知，即故行列式Dn可表示为由行列式的性质 当n为奇数时，得Dn =Dn
2、，因而得Dn = 0.3化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。例3 计算n阶行列式 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，n列都加到第1列上，行列式不变，得4降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。例4 计算n阶行列式解 将Dn按第1行展开.5递推公式法递推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn与Dn1或Dn与Dn1
3、, Dn2之间的一种关系称为递推公式（其中Dn, Dn1, Dn2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。例5 证明 证明：将Dn按第1列展开得 由此得递推公式：，利用此递推公式可得6利用范德蒙行列式例6 计算行列式解 把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n1行的1倍加到第n行，便得范德蒙行列式例2 计算阶行列式其中解 这个行列式的每一行元素的形状都是，0，1，2，n即按降幂排列，按升幂排列，且次数之和都是n，又因，若在第i行（1，2，n）提出公因子，则D可化为一个转置的范德蒙行列式，即7加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中
4、增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。例7 计算n阶行列式 解： （箭形行列式） 例3 计算n（n2）阶行列式，其中解 先将添上一行一列，变成下面的阶行列式：显然，将的第一行乘以后加到其余各行，得因，将上面这个行列式第一列加第i（，）列的倍，得：故 8数学归纳法例8 计算n阶行列式解：用数学归纳法. 当n = 2时 假设n = k时，有 则当n = k+1时，把Dk+1按第一列展开，得由此，对任意的正整数n，有9拆开法把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。例9 计算行列式 解：例4 计算n（n2）阶行列式解 将按第一列拆成两
5、个行列式的和，即再将上式等号右端的第一个行列式第i列（，3，n）减去第一列的i倍；第二个行列式提出第一列的公因子，则可得到当n3时，当时，上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。第1讲 计算行列式的若干基本方法计算行列式并无固定的方法其实，同一个行列式可以有多种不同的方法进行计算因此，除了掌握好行列式的基本性质外，针对行列式的结构特点，选取恰当的方法，才能较快地酸楚行列式这一讲，我们将介绍一些常用的方法1 化为已经熟悉的行列式来计算我们已经知道上（下）三角行列式、范德蒙行列式以及形
6、如，的行列式的结果如果利用行列式的性质可把给定的行列式化为以上这些形式，则不难求出所给行列式的值为了叙述简便，仍用记号表示互换行列式的第i行（列）与第j行（列）；用表示将行列式第j行（列）的k倍加到第i行（列）；用表示将第i行（列）乘以非零的数c例1 计算行列式解 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算例5 计算n阶行列式解 这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n列之和全同将第2，3，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1例6 计算阶行列式其中解 这个行列式的每一行元素的形状都是，0，1，2，n即按降幂排
7、列，按升幂排列，且次数之和都是n，又因，若在第i行（1，2，n）提出公因子，则D可化为一个转置的范德蒙行列式，即2 降阶法当一个行列式的某一行（列）的元素有比较多0时，利用行列式的依行（列）展开定理将它化为较低阶的行列式来计算例7 计算n（n2）阶行列式解 按第一行展开，得再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到3 拆项法拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素都写成同样多的和，然后利用性质6将它表成一些比较容易计算的行列式的和例8 计算n（n2）阶行列式解 将按第一列拆成两个行列式的和，即再将上式等号右端的第一个行列式第i列（，3，n）减去第一列的i倍；第二个行列式提出第一列的
8、公因子，则可得到当n3时，当时，例9 计算n阶行列式，（）解 将第一行的元素都表成两项的和，使变成两个行列式的和，即将等号右端的第一个行列式按第一行展开，得： 这里是一个与有相同结构的阶行列式；将第二个行列式的第一行加到其余各行，得：于是有 （1）另一方面，如果将的第一行元素用另一方式表成两项之和：仿上可得： （2）将（1）式两边乘以，（2）式两边乘以，然后相减以消去，得：4 加边法在给定的行列式中添上一行和一列，得加边行列式，建立新的行列式与原行列式的联系，以求得结果例10 计算n（n2）阶行列式，其中解 先将添上一行一列，变成下面的阶行列式：显然，将的第一行乘以后加到其余各行，得因，将上面
9、这个行列式第一列加第i（，）列的倍，得：故5 递推法递推法是根据行列式的构造特点，利用行列式的性质，将给定的行列式表成若干个具有相同形状以及一些容易计算的，但阶数较低的行列式之和，然后利用这种关系式计算原行列式的值，最后再用数学归纳法证明所得到的结果正确这是一种颇常使用的方法，在计算范德蒙行列式时已建立过递推关系式，本讲的例6也利用了递推关系式使用递推法计算行列式，一般分三个步骤，首先找出递推关系式，然后算出结果，最后用数学归纳法证明结果正确例11 计算n阶行列式解 首先建立递推关系式按第一列展开，得：这里与有相同的结构，但阶数是的行列式现在，利用递推关系式计算结果对此，只需反复进行代换，得：
10、因，故最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的当时，显然成立设对阶的情形结果正确，往证对n阶的情形也正确由可知，对n阶的行列式结果也成立根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立例12 证明n阶行列式证明 按第一列展开，得其中，等号右边的第一个行列式是与有相同结构但阶数为的行列式，记作；第二个行列式，若将它按第一列展开就得到一个也与有相同结构但阶数为的行列式，记作这样，就有递推关系式：因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的当时，结论正确当时，结论正确设对的情形结论正确，往证时结论也正确由可知，对n阶行列式结果也成立 根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立二、行列式计算方法1. 定义法2. 化为三角形行列式的方法3. 化为范得蒙行列式的方法4. 拆行(列)法5. 降级法6. 加边法7. 数学归纳法8. 递推法9. 因式分解法本章主要内容的内在联系:行列式性质 n级排列 行列式的概念克拉默规则 行列式依行依列展开重点 行列式的计算难点 行列式概念,行列式的展开定理及用定义证明行列式性质3. 化为范得蒙行列式的方法例1 计算行列式 解 作如下行列式,使之配成范德蒙行列式 = 易知等于中 的系数的相反数,而中 的系数为 ,因此, .4. 拆行(列)法例2 计算行列式.解：.5. 降级法例3 计算
