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1、细心整理根本不等式专题学问点：1. (1)假设，那么(2)假设，那么当且仅当时取“=”2. (1)假设，那么(2)假设，那么当且仅当时取“=”(3)假设，那么 (当且仅当时取“=”3.假设，那么 (当且仅当时取“=”假设，那么 (当且仅当时取“=”假设，那么 (当且仅当时取“=”4.假设，那么 (当且仅当时取“=”假设，那么 (当且仅当时取“=”5.假设，那么当且仅当时取“=”留意：(1) 当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比拟大小、求变
2、量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例：求以下函数的值域1y3x 2 2yx解：(1)y3x 22 值域为，+(2)当x0时，yx22；当x0时， yx= x2=2值域为，22，+解题技巧技巧一：凑项例 确定，求函数的最大值。 解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进展拆、凑项，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。技巧二：凑系数例： 当时，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必需和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。留意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当，即x2时取等号 当x2时，的最大值为8。变式：设，求函
3、数的最大值。解：当且仅当即时等号成立。技巧三： 分别技巧四：换元例：求的值域。解析一：此题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有x1的项，再将其分别。当,即时,当且仅当x1时取“”号。解析二：此题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分别求最值。当,即t=时,当t=2即x1时取“”号。技巧五：在应用最值定理求最值时，假设遇等号取不到的状况，结合函数的单调性。例：求函数的值域。解：令，那么因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。所以，所求函数的值域为。技巧六：整体代换屡次连用最值定理求最值时，要留意取等号的条件
4、的相同性，否那么就会出错。例：确定，且，求的最小值。错解：，且， 故 。错因：解法中两次连用均值不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不相同，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。技巧七例：确定x，y为正实数，且x 21，求x的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故接受公式ab。同时还应化简中y2前面的系数为 ， xx x下面将x，分别看成两个因式：x 即xx 技巧八：确定a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值.分析：这是一个二元函
5、数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或根本不等式求解，对此题来说，这种途径是可行的；二是干脆用根本不等式，对此题来说，因确定条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用根本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进展。法一：a， abb由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2t34t28 ab18 y 当且仅当t4，即b3，a6时，等号成立。法二：由确定得：30aba2b a2b2 30ab2令u那么u22u300， 5u33，ab18，y点评：此题考察不等式的应用、不等式的解法及运算实力；如何由确定不等式启程求得的范围，关键是找寻到之间的关系，由此想到不等式，这样将确定条件转换为含的不等式，进而解得的范围.技巧九、取平方例: 求函数的最大值。解析：留意到与的和为定值。又，所以当且仅当=，即时取等号。 故。应用二：利用均值不等式证明不等式例：确定a、b、c，且。求证：分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别运用均值不等式可得三个“2”连乘，又，可由此变形入手。解：a、b、c，。同理，。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得。当且仅当时取等号。应用三：均值不等式与恒成立问题例：确定且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。解：令， 。 ，应用四：均值定理在比拟大小中的应用：例：假设，那么的大小关系是 .分析： RQP。
