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1、Ch1、引 论1、数值分析及其特点1、数值分析及其主要内容数值分析也称计算方法，主要研究用计算机求解数学问题的数值方法及理论，内容主要包括：(1)数值逼近插值与拟合、多项式逼近、有理逼近等(Ch2Ch3)；(2)数值积分与微分(Ch4)；(3)数值代数求解方程(组)以及特征问题的数值方法(Ch6Ch9)；(4)常微分方程的数值解法(Ch5)。2、数值分析的特点(1)首先要有可靠的理论分析，以确保算法在理论上的收敛性和数值稳定性；(2)其次要对计算结果进行误差估计，以确定其是否满足精度；（见例3）(3)还要考虑算法的运行效率，即算法的计算量与存储量。例如Cooley和Tukey1965年提出FF
2、T，N=32K，1000倍。例1、分析用Cramer法则解一个阶线性方程组的计算量。解：计算机的计算量主要取决于乘除法的次数。用Cramer法则解一个阶线性方程组需计算个阶行列式，而用定义计算阶行列式需次乘法，故总计共需。此外，还需次除法。当时，计算量约为次乘法。即使用每秒百亿次乘法的计算机，也需计算3000多年才能完成。可见，Cramer法则仅仅是理论上的，不是面向计算机的。2、数值分析中的误差1、误差的类型与来源(1)模型误差；(2)观测误差；(3)截断误差(方法误差) 模型的准确解与数值方法准确解之间的误差；(4)舍入误差实数形式的原始数据与有限字长的计算机数据之间的误差。数值分析主要研
3、究截断误差与舍入误差。例2、根据Taylor展式计算(误差小于0.01)。解： (截断误差) (舍入误差)。2、误差的基本概念(1)误差与误差限设为某量的精确值，为的一个近似值，则称为的（绝对）误差，为的相对误差。用某种方法确定的误差的某个上界称为的误差限，显然，即，称为的相对误差限。误差限取决于测量工具和计算方法。(2)函数值的计算误差设，为的近似值，则(多元函数一阶Taylor展式)，。3、算法的数值稳定性与病态问题1、算法的数值稳定性例3、计算，并做误差分析。解：。算法1：，结果见下表。又, 。算法2：，结果见下表。 n算法1算法2准确值0123456误差分析:算法1：，即在计算过程中误
4、差放大了倍。算法2：，即误差缩小了倍。定义1：若某算法受初始误差或计算过程中产生的舍入误差的影响较小，则称之是数值稳定的，反之称为不稳定算法。2、病态问题例4、将方程，即改为摄动方程，即，其中。Wilkinson用精密方法计算出其根为：。令，其根为，则当时，。显然反映了初始数据的微小摄动对的影响程度即问题的条件数。因，故 1 4 6 8 1019 20 （坏条件问题）定义2：若初始数据的微小误差都会对最终的计算结果产生极大的影响，则称这种问题为病态问题（坏条件问题），反之称其为良态问题。例5、分别将线性方程组的右端向量和系数矩阵中数据做一个微小变化，具体数据如下：然后用精确方法求解，发现其解与
5、原方程解相比发生了很大的变化。 这表明此方程组为病态方程组。4、算法的实现与常用的数学软件用计算机实现数值分析中的算法通常有两种途径：(1)用Fortran、C、VB、VC等自编程序；(2)借助于现成的数学工具软件。目前常用的数学软件约30余个，可分为通用与专用两大类。专用系统主要是为解决数学中某个分支的特殊问题而设计的。1、 SAS和SPSS（统计分析）；2、 Lindo、Lingo和CPLEX（运筹与优化计算）；3、 Cayley和GAP（群论研究）；4、 PARI（数论研究）；5、 Origin（科技绘图与数据分析）；6、 DELiA（微分方程分析）等。通用系统中又可分为数值计算型与解析
6、计算型。数值计算型：Matlab、Xmath、Gauss、MLAB和Origin等。解析计算型：Maple、Mathematica、Macsyma、Axiom和Reduce等。其中Matlab、Mathematica、Maple与另一个面向大众的普及型数学软件Mathcad并称数学软件中的“四大天王”。Matlab意思为“矩阵实验室”，是美国计算机科学家Cleve Moler在70年代末开发出的以矩阵数值计算为主的数学软件，如今已发展成为融科技计算、图形可视化与程序语言为一体的功能强大的通用数学软件。Matlab最突出的特点是其带有一系列的“工具包”，可广泛应用于自动控制、信号处理、数据分析、
7、通讯系统和动态仿真等领域。高版本的Matlab也可进行符号计算，不过它的代数运算系统是从Maple移植过来的。Mathematica是美国物理学家Stephen Wolfram开发出的第一个将符号计算、数值计算和图形显示很好地结合在一起的数学软件，在国内较为流行，拥有广泛的用户。Mathcad是MathSoft公司在80年代开发的一个交互式数学文字软件，与Matlab和Mathematica不同的是，该软件的市场定位是：向广大教师、学生、工程技术人员提供一个兼备文字、数学和图形处理能力的集成工作环境，而并不致力于复杂的数值计算与符号计算问题，具有面向大众普及的特点。不过，新版Mathcad的计
8、算能力已远远超出了其早期的设计目标。Maple是加拿大Waterloo大学符号计算研究小组于80年代初开始研发，1985年才面世的计算机代数软件，起初并不为人们所注意，但Maple V release 2于1992年面世后，人们发现它是一个功能强大、界面友好的计算机代数系统。随着版本的不断更新，Maple已日益得到广泛的承认和欢迎，用户越来越多，声誉越来越高，从1995年以后，Maple一直在IEEE的数学软件评比中居符号计算软件的第一名。目前，Maple的最高版本为Maple V release 11。第一章上机实验目的：1、 熟悉Maple中的定义函数、解方程、积分、循环语句和列表等命令；
9、2、 通过具体问题的计算，加深对数值稳定性和病态问题的理解。实验内容：1、 设，由得算法一：；又，取，从而又得算法二：。分别用上述两种算法计算，根据计算结果判定其数值稳定性，并给予证明。2、将方程，即改为摄动方程，对不同的求解此方程，观察对解的影响程度，判定此方程是否为病态方程。15、已知三角形面积，其中为弧度，且测量的误差分别为，证明面积的误差满足。证：根据零阶多元Taylor公式，令，则，因，从而，得，即。又，故，即。从而。Ch2、插值法1、插值问题引例：矿井中某处的瓦斯浓度与该处距地面的距离有关，现用仪器测得从地面到井下500米每隔50米的瓦斯浓度数据，根据这些数据完成下列工作：(1)寻
10、找一个函数，要求从此函数中可近似求得从地面到井下500米之间任意一点处的瓦斯浓度；(2)估计井下600米处的瓦斯浓度。第一个问题可归结为“已知函数在处的值，求函数在区间内其它点处的值”，这种问题适宜用插值方法解决。但对第二个问题不宜用插值方法，因为600米已超出所给数据范围，用插值函数外推插值区间外的数据会产生较大的误差。解决第二个问题的常用方法是，根据地面到井下500处的数据求出瓦斯浓度与地面到井下距离之间的函数关系，由求井下600米处的瓦斯浓度。定义：设在中个点处的值为已知，现根据上述数据构造一个简单函数，使，这种问题称为插值问题。,分别称为被插值函数、插值函数、插值节点和插值条件。若为多
11、项式，则此问题称为多项式插值或代数插值。定理1：在插值节点处，取给定值，且次数不高于的插值多项式是存在且唯一的。证：令，则根据插值条件有下列等式 （关于的阶线性方程组），其系数行列式是范德蒙（Vandermonde）行列式。根据克莱姆法则，此方程组存在唯一解，即存在且唯一。2、Lagrange插值1、线性插值与抛物插值(1)线性插值，其中称为线性插值的基函数。(2)抛物插值设，分别令，即得， 故，其中称为抛物插值的基函数。2、Lagrange插值多项式定义：对个插值节点，令，则显然。此时，满足 称之为Langrange插值多项式，称为Lagrange插值的基函数。编程时宜用。3、插值公式的余项
12、定理2：设上连续，在内可导，则以插值多项式逼近的截断误差（即余项）。例1、已知函数的数据如下，分别用线性插值和二次插值求的近似值。解：，3、逐次线性插值法对插值节点及对应的函数值，用表示一个非负整数序列，将个节点所确定的不高于次的插值多项式记为，则 ，即次插值多项式可以用两个次插值多项式通过线性插值获得逐次线性插值。Aitken算法：例2、根据下表近似计算在处的值。同理可得。类似可得。，故。4、均差与牛顿插值公式1、均差（差商）及其性质定义：称为关于的一阶均差； 称为关于的二阶均差；类似地可定义阶均差 。定理：，即阶均差可表示为的线性组合，从而阶均差与节点的排列次序无关。证：当时，右左不妨假设
13、成立，则 。2、牛顿插值公式设插值节点上的插值多项式为。分别令，则有；从而，故 牛顿插值公式。例3、 P34K=0K=1K=2K=3K=4K=5，。5、差分与等距节点插值公式1、差分及其性质定义：对等距节点，记。向前差分：；向后差分：；中心差分：；二阶差分：；阶差分：。不变算子与移位算子，即。由，得。(1)差分类似于微分的性质 (2)函数值与差分可相互线性表示(3)差分与均差的关系。证：时，。假设时成立，则。2、等距节点插值公式令，则，。代入牛顿插值公式得 。6、Runge现象与高次插值的讨论1、Runge现象例4、，节点，求插值多项式。解： 10次Langrange插值多项式结果如下：2、讨论(1)节点的增多固然能使插值函数在更多的地方与相等，但在两个节点之间不一定能很好地逼近，有时差异很大，所以在实际中，高次插值（7次以上）很少使用；(2)可将分成若干小区间，在小区间内用低次（二次，三次）插值，即分段低次插值，如样条函数插值。7、三次样条插值分段低次插值：(1)分段线性插值(连续)；(2)分段Hermite插值(导数连续)；(3)三次样条插值(二阶导数连续)。1、三次样条插值函数能够逐段表示成三次多项式且二阶导数连续(具有二阶光
