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1、北师大版数学精品教学资料核心必知1度量角的单位制(1)角度制规定周角的为1度的角，用度作为单位度量角的单位制叫角度制(2)弧度制在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度这种以弧度作单位度量角的单位制，叫作弧度制2角度与弧度的互化(1)角度制与弧度制的互化(换算)180_rad；1 rad0.017 45 rad；1 rad571857.30(2)特殊角的度数与弧度数的对应表度030456090120135150180225270315360弧度02(3)任意角的弧度数与实数的对应关系任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数
2、；零角的弧度数是03扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，为其圆心角，则度量单位类别为角的度数为角的弧度数扇形的弧长ll|r扇形的面积SSlr|r2问题思考1半径不同的圆中，相同的圆心角所对的角的弧度数是否相同？提示：相同在公式|中，角的弧度数的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关22与2弧度的角是否表示同一个角？提示：不是同一个角.2是角度制，2是弧度制，2 rad约为115.3390可以写成360吗？提示：不可以，在同一表达式中角度与弧度不能混用讲一讲1(1)把11230化为弧度；(2) rad化为度尝试解答(1)1 rad，11230112.5112.5 rad
3、rad.(2)1 rad， rad75.1将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1 rad化为弧度便可2以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少的形式，如无特殊要求，不必把写成小数练一练1将下列角度与弧度互化(1)20；(2)；(3)8 rad解：(1)2020，(2)180165.(3)8 rad8857.30458.40.讲一讲2把下列角化成2k(02，kZ)的形式，指出它是第几象限角并写出与终边相同的角的集合(1)；(2)1 485.尝试解答(1)82，它是第二象限角，与终边相同的角的集合为.(2)1 485536031510，它是第四象限
4、角，与终边相同的角的集合为.用弧度制表示角的集合时应注意：(1)利用弧度制与角度制之间的关系将有关角化为弧度数；(2)的倍数是偶数，的范围是0，2)(3)在表示角的集合时要使用统一的度量单位练一练2(1)用弧度表示终边落在x轴的非正、非负半轴上，y轴的非正、非负半轴上，x轴上，y轴上的角的集合；(2)用弧度表示第一、二、三、四象限角的集合解：(1)终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为|2k，kZ；终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为|2k，kZ；终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为；终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为|2k，kZ；所以，终边落在x轴上的角的集合为|k，kZ；终边落在y轴上的角
5、的集合为.(2)第一象限角为；第二象限角为；第三象限角为；第四象限角为.讲一讲3(1)已知扇形的半径为1 cm，圆心角为30，求扇形的弧长和面积(2)已知扇形的周长为6 cm，面积为2 cm2，求扇形圆心角的弧度数尝试解答(1)30，l|r1(cm)S|r212(cm2)故扇形的弧长为 cm，面积为 cm2.(2)设扇形的弧长为l，所在圆的半径为r，由题意得消去l并整理得，r23r20，解得r1或r2.当r1时，l4，圆心角4；当r2时，l2，圆心角1.故扇形的圆心角为1弧度或4弧度1涉及扇形的周长、弧长、圆心角和面积等的计算，关键是要弄清题目中已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面
6、积公式直接求解或列方程组解决2解题过程中，常常用到方程的思想及等价转化的思想练一练3扇形的周长C一定时，它的圆心角取何值才能使该扇形的面积S最大，最大值是多少？解：设扇形的半径为R，则扇形的弧长为C2R，S(C2R)RR2R(R)2()2，当R，即2时，扇形有最大面积.用弧度表示终边落在图中的阴影部分内的角的集合如图(不包括边界角)错解(1)图中，S1|2k3302k75，kZ；(2)图中，S2|2k2252k135，kZ；(3)图中，S3|2k302k90或2k21075，(2)中，225135，其实写出的集合S1，S2中不含任何元素；二是角度与弧度在同一表达式中混用正解(1)图中以OB为终
7、边的角为330，可看成为30，化为弧度，即，而7575，所求集合为.(2)图中以OB为终边的角225，可看成是135，化为弧度，即，而135，所求集合为.(3)图中，30，210，所求集合为，即.即.1下列说法不正确的是()A“度”与“弧度”是度量角的两种不同制度B1度的角是圆周的所对的圆心角，1弧度的角是圆周的所对的圆心角C根据弧度的定义，180一定等于 radD不论是用角度制还是弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关解析：选D根据角、弧度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以D错误2若1 920，则该角的弧度数为()A.B.C. D.
8、解析：选D1弧度，1 9201 920 rad rad.3的终边所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选D2，因为是第四象限角，所以是第四象限角4已知半径为10 cm的圆上，有一条弧的长是40 cm，则该弧所对的圆心角的弧度数是_解析：由l|r，得弧度数为4.答案：4 5已知一扇形的圆心角是72，半径为20 cm，则扇形的面积是_解析：设扇形的弧长为l.7272 rad rad，l|r208(cm)，Slr82080(cm2)答案： 80 cm26(1)把1 480写成2k(kZ)的形式，其中02；(2)若4，0，且与(1)中的终边相同，求.解：(1)1 48010
9、，又02，1 480252(5).(2)由(1)可知.与终边相同，2k，kZ.又4，0，令k1，则，令k2，则，的值是，.一、选择题1下列命题中，真命题是()A1弧度是1度的圆心角所对的弧B1弧度是长度为半径的弧C1弧度是1度的弧与1度的角之和D1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角解析：选D由弧度制定义知D正确22 rad，则的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选C2，的终边落在第三象限，故选C.3时钟的分针在1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为()A. BC. D解析：选B显然分针在1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了2周，其弧度数为(2) rad.4
10、设集合A，B，则集合A与B之间的关系为()AAB BABCAB DAB解析：选C对于集合A，当k2n(nZ)时，x2n，当k2n1(nZ)时，x2n2nAB，故选C.二、填空题5在半径为2的圆内，弧长为的圆心角的度数为_解析：设所求的角为，角60.答案：606终边落在直线yx上的角的集合用弧度表示为S_解析：S|(2k1)，kZ.答案：|n，nZ7已知，则角的终边所在的象限是_解析：当k为偶数时，2n，终边在第一象限；当k为奇数时，(2n1)2n，终边在第二象限答案：第一、二象限8已知扇形的面积为25，圆心角为2 rad，则它的周长为_解析：设扇形的弧长为l，半径为r，则由Sr225，得r5，
11、lr10，故扇形的周长为20.答案：20三、解答题9用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)解：(1)图中，以OA为终边的角为2k(kZ)；以OB为终边的角为2k(kZ)阴影部分内的角的集合为|2k2k，kZ(2)图中，以OA为终边的角为2k，kZ；以OB为终边的角为2k，kZ.不妨设右边阴影部分所表示集合为M1，左边阴影部分所表示集合为M2，则M1|2k2k，kZ，M2|2k2k，kZ阴影部分所表示的集合为：M1M2|2k2k，kZ|2k2k，kZ|2k2k或2k2k，kZ10如图，动点P，Q从点A(4，0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长解：设P，Q第一次相遇时所用的时间是t s，则tt|2，所以t4(s)，即P，Q第一次相遇时所用的时间为4 s .如图，设第一次相遇点为C，第一次相遇时已运动到终边在4的位置，则xc2，yc2，所以C点的坐标为(2，2)P点走过的弧长为4，Q点走过的弧长为4.
