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1、专题21 万有引力定律及其应用一、万有引力和重力的关系1在地球表面上的物体地球在不停地自转、地球上的物体随地球自转而做圆周运动，自转圆周运动需要一个向心力，是重力不直接等于万有引力而近似等于万有引力的原因，如图所示，万有引力为F，重力为G，向心力为Fn。当然，真实情况不会有这么大偏差。（1）物体在一般位置时Fn=mr2，Fn、F、G不在一条直线上。（2）当物体在赤道上时，Fn达到最大值Fnmax，Fnmax=mR2，重力达到最小值：，重力加速度达到最小值，。（3）当物体在两极时Fn=0，G=F，重力达到最大值，重力加速度达到最大值，。可见只有在两极时重力才等于万有引力，重力加速度达到最大值；其
2、他位置时重力要略小于万有引力，在赤道处的重力加速度最小，两极处的重力加速度比赤道处大；但是由于自转的角速度很小，需要的向心力很小。计算题中，如果未提及地球的自转，一般认为重力近似等于万有引力。即或者写成GM=gR2，称为“黄金代换”。2离开地球表面的物体卫星在做圆周运动时，只受到地球的万有引力作用，我们认为卫星所受到的引力就是卫星在该处所受到的重力，该处的重力加速度。这个值也是卫星绕地球做圆周运动的向心加速度的值；卫星及内部物体处于完全失重状态。（为什么？）二、天体质量和密度的计算1解决天体（卫星）运动问题的基本思路（1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即。（2）在中心天体表面或附近
3、运动时，万有引力近似等于重力，即（g表示天体表面的重力加速度）。（2）利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度：在行星表面重力加速度：，所以；在离地面高为h的轨道处重力加速度：，得。2天体质量和密度的计算（1）利用天体表面的重力加速度g和天体半径R由于，故天体质量；天体密度：；（2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r由万有引力等于向心力，即，得出中心天体质量；若已知天体半径R，则天体的平均密度；若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。3估算天体问题应注
4、意三点（1）天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等；（2）注意黄金代换式GM=gR2的应用；（3）注意密度公式的理解和应用。三、卫星的动力学规律由万有引力提供向心力，。四、卫星的各物理量随轨道半径变化的规律1线速度v：由得，可见，r越大，v越小；r越小，v越大。2角速度：由得，可见，r越大，越小；r越小，越大。3周期T：由得，可见，r越大，T越大；r越小，T越小。4向心加速度an：由得，可见，r越大，an越小；r越小，an越大。以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”。2016年10月19日凌晨“神舟十一号”飞船与“天宫二号”成功实施自动交会对接。如图所示，
5、已知“神舟十一号”“天宫二号”对接后，组合体在时间t内沿圆周轨道绕地球转过的角度为，组合体轨道半径为r，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转。则下列各量不能求出的是A地球的质量B地球的平均密度C组合体做圆周运动的线速度D组合体受到地球的万有引力【参考答案】D【详细解析】组合体在时间t内沿圆周轨道绕地球转过的角度为，则角速度为，根据万有引力提供组合体的向心力，则，所以地球的质量为，可知能求出地球的质量M，故A能求出；不考虑地球的自转时，物体在地球表面的重力等于地球对组合体的万有引力，则得，解得，则可以求出地球的半径R，地球的密度为，可知能求出地球的平均密度，故B能求出；根据线速度
6、与角速度的关系，可知，可知可以求出组合体做圆周运动的线速度，C能求出；由于不知道组合体的质量，所以不能求出组合体受到的万有引力，故D不能求出。学*1某研究小组用天文望远镜对一颗行星进行观测，发现该行星有一颗卫星，卫星在行星的表面附近绕行，并测得其周期为T，已知引力常量为G，根据这些数据可以估算出A行星的质量B行星的半径C行星的平均密度D行星表面的重力加速度【答案】C2我国计划在2018年发射“嫦娥四号”，它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地貌、资源等方面的信息，完善月球档案资料。已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为
7、G，“嫦娥四号”离月球中心的距离为r，绕月周期为T。根据以上信息可求出A“嫦娥四号”绕月运行的速度为B“嫦娥四号”绕月运行的速度为 C月球的平均密度D月球的平均密度为【答案】AC 如图所示，O为地球的球心，A为地球表面上的点，B为O、A连线间的点，AB=d，将地球视为质量分布均匀的球体，半径为R。设想挖掉以B为圆心、以为半径的球。若忽略地球的自转，则挖出球体后A点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比为A B C D【参考答案】B【详细解析】本题采用割补法解题，设想没有挖掉以B为圆心、以为半径的球，则A点物体所受到的引力是以B为圆心、以为半径的球的引力和剩余部分的引力的矢量和，设地球的质量为
8、M，以B为圆心、以为半径的球的质量为，则，根据万有引力定律有，所以，根据牛顿第二定律得：挖出球体后A点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比为：，所以选B。1地球赤道上的重力加速度为g=9.8 m/s2，物体在赤道上的向心加速度约为an=3.39 cm/s2，若使赤道上的物体处于完全失重状态，则地球的转速应为原来的A17倍 B49倍 C98倍 D289倍【答案】A2假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为A B C D【答案】A【解析】如图所示，根据“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零”可
9、知，过地面的球壳对地面与矿井所在球壳之间的环形部分的引力为零。设地面处的重力加速度为g，地球的质量为M，由地球表面的物体m1受到的重力近似等于万有引力，可得；再将矿井底部所在的球壳包围的球体取出来进行研究，设矿井底部处的重力加速度为，取出的球体的质量为，半径为r=Rd，同理可得矿井底部处的物体m2受到的重力为，又，联立解得，A正确。质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球的质量为M，月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的A线速度 B角速度C运行周期 D向心加速度【参考答案】AC【详细解析】根据卫星做圆周运
10、动和万有引力等于重力得出，故A正确；，故B错误；，故C正确；故D错误。 12016年10月19日，神舟十一号太空飞船在高度393公里的近圆轨道与太空实验室天宫二号“牵手”对接，变轨前和变轨完成后“天宫二号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，对应的角速度和向心加速度分别为1、2和a1、a2，则有ABC变轨后的“天宫二号”比变轨前动能增大了，机械能增加了D在正常运行的“天宫二号”内，体重计、弹簧测力计、天平都不能使用了【答案】B2A、B两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，运动周期，则A轨道半径 B线速度C角速度 D向心加速度【答案】B【解析】根据万有引力提供向心力得：，解得：
11、，因为，所以rA:rB=2:1，故A错误；根据，得则，故B正确；角速度，所以角速度，故C错误；向心加速度，则向心加速度aA:aB=1:4，故D错误。【名师点睛】解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论，知道线速度、角速度、加速度、周期与轨道半径的关系。12016年10月17日我国“神舟十一号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心顺利升空，“神舟十一号”和“天宫二号”对接，对接后一起绕地球做圆周运动的轨道高度是h=400 km，若地球半径为R，第一宇宙速度为v，则可知“神舟十一号”和“天宫二号”对接后整体的环绕速度为A B C D2“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。若测得“嫦娥二号”在
12、月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量G，半径为R的球体体积公式，则可估算月球的A密度 B质量 C半径 D自转周期32016年10月19日凌晨，“天宫二号”和“神舟十一号”在离地高度为393千米的太空相约，两个比子弹速度还要快8倍的空中飞行器安全无误差地对接在一起，假设“天宫二号”与“神舟十一号”对接后绕地球做匀速圆周运动，已知同步轨道离地高度约为36 000千米，则下列说法中正确的是A为实现对接，“神舟十一号”应在离地高度低于393千米的轨道上加速，逐渐靠近“天宫二号”B“比子弹快8倍的速度”大于7.9103 m/sC对接后运行的周期小于24 hD对接后运行
13、的加速度因质量变大而变小4宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上，用R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，g0表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，N表示人对秤的压力，则关于g0、N下面正确的是A BC DN=052016年1月5日上午，国防科工局正式发布国际天文学联合会批准的嫦娥三号探测器着陆点周边区域命名为“广寒宫”，附近三个撞击坑分别命名为“紫微”、“天市”、“太微”。此次成功命名，是以中国元素命名的月球地理实体达到22个。质量为m的人造地球卫星与月心的距离为r时，重力势能可表示为，其中G为引力常量，M为月球质量。若“嫦娥三号”在原来
14、半径为R1的轨道上绕月球做匀速圆周运动，由于受到极其稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R2，已知：月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，地球表面的重力加速度为g，此过程中因摩擦而产生的热量为A BC D62016年9月15日，中国成功发射天宫二号空间实验室，对其轨道进行控制、调整到距离地面高h=393 km处与随后发射的神舟十一号飞船成功对接，景海鹏和陈冬雨两名航天员进驻天宫二号。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，当天宫二号在预定轨道正常运行时，下列描述正确的是A宇航员在天宫二号内可用天平测物体的质量B天宫二号运动周期大于24 hC天宫二号线速度大小为D天宫二号如果要变轨到高轨道则需要加速7如图所示，A、B两卫星绕地球运行，运动方向相同，此时两卫星距离最近，其中A是地球同步卫星，轨道半径为r。地球可看成质量均匀分布的球体，其半径为R，自转周期为T。若经过时间t后，A、B第一次相距最远，下列说法正确的有A卫星B的周期为B卫星B的周期
