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1、12 复合函数零点问题一、典型例题例1:设定义域为的函数 ，若有关的方程由3个不同的解,则_例：有关的方程的不相似实根的个数是( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 8思路:可将视为一种整体,即,则方程变为可解得:或，则只需作出的图像,然后记录与与的交点总数即可,共有个答案：C例3:已知函数，有关的方程(）恰有6个不同实数解,则的取值范畴是 思路：所解方程可视为,故考虑作出的图像：，则的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有,因此,解得 答案:例4:已知定义在上的奇函数,当时，则有关的方程的实数根个数为( ）A. B. C. D. 思路:已知方程可解,得，只需记录与的交点个数即可。
2、由奇函数可先做出的图像,时,则的图像只需将的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像完毕后可再运用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有个交点答案：B小炼有话说：在作图的过程中,注意拟定分段函数的边界点属于哪一段区间。例5：若函数有极值点，且，则有关的方程的不同实根的个数是( ）A3 B. C. D.6思路：由极值点可得:为 的两根，观测到方程与构造完全相似,因此可得的两根为,其中，若,可判断出是极大值点,是极小值点。且，因此与有两个交点,而与有一种交点，合计3个;若,可判断出是极小值点，是极大值点。且，因此与有两个交点，而与有一种交点,合计个。综上所述,共有3个交点答案：A例6:已知函数
3、,若方程恰有七个不相似的实根,则实数的取值范畴是( ）A. B. . D. 思路：考虑通过图像变换作出的图像(如图），由于最多只能解出2个，若要出七个根，则,因此，解得：答案:B例：已知函数,若有关的方程恰有4个不相等的实数根,则实数的取值范畴是( ) . C 思路:,分析的图像以便于作图,时，从而在单调递增,在单调递减,且当，因此正半轴为水平渐近线;当时,，因此在单调递减。由此作图,从图像可得，若恰有4个不等实根，则有关的方程中，,从而将问题转化为根分布问题,设，则的两根,设,则有，解得答案:C小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目,其中作图是通过度析函数的单调性和核心点来进行作图，在作图
4、的过程中还要注意渐近线的细节,从而保证图像的精确。例8:已知函数,则下列有关函数的零点个数判断对的的是（ ）A. 当时，有4个零点;当时,有1个零点B. 当时，有3个零点;当时,有2个零点 无论为什么值，均有2个零点D.无论为什么值，均有个零点思路:所求函数的零点，即方程的解的个数,先作出的图像,直线为过定点的一条直线，但需要对的符号进行分类讨论。当时,图像如图所示，先拆外层可得,而有两个相应的，也有两个相应的，合计4个；当时,的图像如图所示，先拆外层可得，且只有一种满足的，因此共一种零点。结合选项,可判断出A对的答案：A例9:已知函数,则方程（为正实数）的实数根最多有_个思路:先通过度析的性
5、质以便于作图，从而在单增，在单减，且，为分段函数,作出每段图像即可,如图所示,若要实数根最多,则要优先选用能相应较多的状况,由图像可得,当时,每个可相应个。只需判断中,能在获得的值的个数即可,观测图像可得，当时，可以有2个,从而可以找到6个根，即最多的根的个数答案:个例10：已知函数和在的图像如下,给出下列四个命题：（）方程有且只有6个根(2)方程有且只有个根(3）方程有且只有5个根()方程有且只有4个根则对的命题的个数是( )A. B. C.3 D. 4思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层,找到内层函数能获得的值,从而记录出的总数。（1)中可得,进而有2个相应的 ，有3个，有2个，总计7个,(1)错误;（）中可得,进而有1个相应的，有个，总计个,(）错误；(3）中可得,进而有1个相应的 ，有个，有1个,总计5个，（3）对的；()中可得:,进而有2个相应的 ，有2个,合计4个,（4)对的则综上所述，对的的命题共有2个答案：
