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1、抽象代数试题及答案 本科一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分)1. 设Q是有理数集，规定f(x)= +2；g(x)=+1,则（fg）(x)等于（ B ）A. B. C. D. 2. 设是到的单射，是到的单射，则是到的 （ A ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射 3. 设 S3 = （1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2），则S3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。A. 1B. 2C. 3D. 44. 在整数环Z中，可逆元的个数是( B )。A. 1个B. 2个C.
2、 4个D. 无限个5. 剩余类环Z10的子环有( B )。A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个6. 设G是有限群，aG, 且a的阶|a|=12, 则G中元素的阶为( B )A 2 B. 3 C. 6 D. 97设G是有限群，对任意a,bG，以下结论正确的是( A ) A. B. b的阶不一定整除G的阶 C. G的单位元不唯一 D. G中消去律不成立8. 设G是循环群，则以下结论不正确的是( A ) A. G的商群不是循环群 B. G的任何子群都是正规子群 C. G是交换群 D. G的任何子群都是循环群9. 设集合 A=a,b,c, 以下AA的子集为等价关系的是( C )A. = (a,a)
3、,(a,b),(a,c),(b,b) B. = (a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)C. = (a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)D. = (a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)10. 设是到的满射，是到的满射，则是到的 （ B ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射11. 设 S3 = （1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2），则S3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。A. 1B. 2C. 3D. 412. 在剩余类环中，其可逆元的个数是( D )。A. 1个B.
4、 2个C. 3个D. 4个13. 设（R，+，）是环 ，则下面结论不正确的有( C )。A. R的零元惟一 B. 若，则C. 对，的负元不惟一 D. 若，则14. 设G是群，aG, 且a的阶|a|=12, 则G中元素的阶为( B )A 2 B. 3 C. 6 D. 915设G是有限群，对任意a,bG，以下结论正确的是( A ) A. B. |b| = C. G的单位元不唯一 D. 方程在G中无解16. 设G是交换群，则以下结论正确的是( B )A. G的商群不是交换群 B. G的任何子群都是正规子群 C. G是循环群 D. G的任何子群都是循环群17. 设A=1，-1, i，-i，B = 1,
5、 -1, : AB, , aA，则是从A到B的( A )。A. 满射而非单射B. 单射而非满射 C. 一一映射D. 既非单射也非满射18.设A=R（实数域）， B=（正实数集）， :a， aA，则 是从A到B的( C )。A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射 19.设A=所有实数x，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集的同态满射的是( C )。 A.x10x B.x2x C.x|x| D.x-x20. 数域P上的n阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法( C )A. 构成一个交换群 B. 构成一个循环群 C. 构成一个群 D. 构成一个交换环2
6、1.在高斯整数环Zi中，可逆元的个数为（ D ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个22 . 剩余类加群Z8的子群有( B )。A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个23. 下列含有零因子的环是 （ B ）A. 高斯整数环Zi B.数域P上的n阶全矩阵环 C. 偶数环 2Z D. 剩余类环24 设(R,+,)是一个环，则下列结论正确的是（ D ） A. R中的每个元素都可逆 B. R的子环一定是理想 C. R一定含有单位元 D. R的理想一定是子环25设群G是6阶循环群，则群G的子群个数为（ A ） A 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个26. 设A = a, b, c，B = 1
7、,2,3, 则从集合A到集合B的满射的个数为 ( D )。A. 1B. 2 C. 3 D. 627. 设集合 A = a, b, c, 则以下集合是集合A的分类的是 ( C )A. = a, b,a, c B. = a,b, c,b,aC. = a,b,c D. = a,b,b,c,c28. 设R = ，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是( A )。A. 有单位元的交换环 B. 无单位元的交换环C. 无单位元的非交换环 D. 有单位元的非交换环29. 设S3=（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2），则S3的子群的个数是( D )。A. 1B.
8、2C. 3D. 630. 在高斯整数环Zi中，单位元是( B )。A. 0B. 1C. D. 31. 设G是运算写作乘法的群，则下列关于群G的子群的结论正确的是 ( B )。A. 任意两个子群的乘积还是子群 B. 任意两个子群的交还是子群 C. 任意两个子群的并还是子群 D. 任意子群一定是正规子群32. 7阶循环群的生成元个数是( C )。A. 1 B. 2 C. 6 D. 733. 设A=a,b,c，B=1,2,3, 则从集合A到集合B的映射有( D )。A. 1 B. 6 C. 18D. 2734. 设为群，其中是实数集，而乘法，这里为中固定的常数。那么群中的单位元和元的逆元分别是（ D
9、 ）A.0和； B.1和0； C.和； D.和35. 设和都是群中的元素，且，那么（ A ）A.； B.； C.； D.。36. 下列正确的命题是（ A ）A.欧氏环一定是唯一分解环； B.主理想环必是欧氏环；C.唯一分解环必是主理想环； D.唯一分解环必是欧氏环。37设是群的子群，且有左陪集分类。如果6，那么的阶（ B ）A.6； B.24； C.10； D.12。38. 设G是有限群，则以下结论正确的是（ A ） A. G的子群的阶整除G的阶 B. G的任何子群都是正规子群 C. G是交换群 D. G的任何子群都是循环群39设是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ D ）A.的同态核是的
10、正规子群； B.的正规子群的原象是的正规子群；C.的子群的象是的子群； D.的正规子群的象是的正规子群。40. 关于半群，下列说法正确的是：（ A ）A. 半群可以有无穷多个右单位元 B. 半群一定有一个右单位元C. 半群如果有右单位元则一定有左单位元 D. 半群一定至少有一个左单位元二、填空题(每空3分)1. 设A是m元集，B是n元集，那么A到B的映射共有 （ ）个. 2. n次对称群的阶是（ ！ ）.3.一个有限非交换群至少含有（ 6 ）个元素.4.设G是p阶群，（p是素数），则G的生成元有（ 个.5.除环的理想共有（ 2 ）个.6.剩余类环的子环S=0,2,4，则S的单位元是（ 4 ）.
11、7.在 i+3, , e-3中，（ ）是有理数域Q上的代数元.8. 在有理数域Q上的极小多项式是（ ）.9. 设集合A =a,b， B=1,2,3，则AB=（）10. 设R是交换环，则主理想=（ ）11设 则12 . 设F是9阶有限域，则F的特征是（ 3 ）.13设是两个循环置换，则（）14 . 设F是125阶有限整环，则F的特征是 （ 5 ）.15. 设集合A含有3个元素，则的元素共有（ 9 ）个.16. 设群G的阶是 2n,子群H是G的正规子群，其阶是n, 则G关于H的商群所含元素的个数是（ 2 ）.17.设a、b是群G的两个元，则 =（ ）.18. 环的可逆元是（ ）.19. 欧式环与主理想环的关系是（主理想环不一定是欧式环， 但欧式环一定是主理想环）.20如果是与间的一一映射，是的一个元，则。21.设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为（）。22设是一个5-循环置换，那么。23有限群G的阶是素数p，则G是（ 循环 ）群。24若是有单位元的环的由生成的主理想，那么中的元素可以表达为（）。25群的子群有（ 6 ）个。26由凯莱定理，任一个抽象群都同一个（ 群的变换群 ）同构。27设A、B分别是m、n个元组成的集合，则=（ ）。28设A=a,b,c，则可定义A的（ 5 ）个不
