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巧解椭圆离心率的取值范围河北容城中学 牛文国 邮编 071700在椭圆问题中经常会遇到下面一类问题，就教学中的一些体会提供此类问 题的常规解法，供大家参考。x2 y 2设椭圆+ 1 = 1 (a b 0)的两焦点为F , F，若在椭圆上存在一点 a2 b212p，使PF丄PF，求椭圆e的取值范围。12=-1,艮卩 y 2 = c 2 一 x 2 ,解析1：设P（x, y）,由PF丄PF得一L12 x + c, x 2 y 2a 2 C 2 - b 2）、门、7代入+ =1 得 X2 =， / X2 0 c2 b2a2 b2c22a22又 0 e 1-1 e 12解析3： J PF丄PF . P点在以FF为直径的圆上 又P在椭圆上,1 2 1 2/. P为圆X2 + y2 = c2 与x2y 2+= 1的公共点。由图可知a2 b2b c a n b2 c2 a2 .： a2 一 c2 c2 a2 e b 0)当P与短轴端点重合时Z FPF最 a2 b21 2大 此题是否可以得到启示呢？无妨设满足条件的点P不存在，则Z FPF 90 012c事2:.0 = sin ZOPF sin 45o = 又 0 e 1a12所以若存在一点P贝y亍 e 1说明：在解此类问题时要充分利用椭圆的定义、均值不等式、椭圆的几何性质。
