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1、精选优质文档-倾情为你奉上2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第卷（选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合M = x | (x -1)2 4, xR，N =-1, 0, 1, 2, 3，则M N =（A）0, 1, 2（B）-1, 0, 1, 2（C）-1, 0, 2, 3（D）0, 1, 2, 3答案：A【解】将N中的元素代入不等式：(x -1)2 N是输出S结束输入Nk= k +1（5）已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则a =（A）- 4（B）- 3（C）-
2、2（D）- 1答案：D 【解】x2的系数为5 C+ aC= 5 a = - 1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N =10，那么输出的S =（A）1+ + + + 错误！未找到引用源。（B）1+ + + + （C）1+ + + + 错误！未找到引用源。（D）1+ + + + 答案：B 【解】变量T, S, k的赋值关系分别是：Tn +1 = , Sn +1 = Sn + Tn +1, kn +1 = kn + 1.( k0 =1, T0 = 1, S0 = 0) kn = n + 1, Tn = T0 = = ,Sn = (Sn - Sn -1) + (Sn -1- Sn -2) + + (
3、S1- S0) + S0 = Tn + Tn -1 + + T0 = 1+ + + + 满足kn N的最小值为k10 = 11，此时输出的S为S10 （7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1, 0, 1)，(1, 1, 0），(0, 1, 1），(0, 0, 0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为(A)(B)(C)(D)答案：A【解】（8）设a = log 36，b = log 510，c = log 714，则（A）c b a（B）b c a（C）a c b （D）a b c答案：D 【解】a = 1 + log 32，b =
4、1 + log 52，c = 1 + log 72log 23 log 25 log 52 log 72 a b c（9）已知a 0，x, y满足约束条件 , 若z =2x + y的最小值为1，则a =（A）错误！未找到引用源。（B）（C）1（D）2答案：B 【解】如图所示，当z =1时，直线2x + y = 1与x = 1的交点C (1, -1) 即为最优解，此时a = kBC = （10）已知函数f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + c，下列结论中错误的是（A）$x0R, f (x0)= 0（B）函数y = f (x )的图像是中心对称图形（C）若x0是f (x )的极小值
5、点，则f (x )在区间(-, x0)单调递减（D）若x0是f (x )的极值点，则f (x0 ) = 0答案：C 【解】f (x ) 的值域为(-, +), 所以（A）正确； f (x ) = x 3 + 3x 2 + 3x( )2 + ( )3 + bx - 3x( )2 + c- ( )3 = (x + )3 + (b - )(x + ) + c- - 因为g (x ) = x 3 + (b - )x是奇函数，图像关于原点对称，所以f (x ) 的图像关于点(- , c- - )对称.所以（B）正确；显然（C）不正确；（D）正确.（11）设抛物线C：y2 =2px ( p 0)的焦点为F
6、，点M在C上，| MF |=5，若以MF为直径的圆过点(0, 2)，则C的方程为（A）y2 = 4x或y2 = 8x（B）y2 = 2x或y2 = 8x（C）y2 = 4x或y2 = 16x（D）y2 = 2x或y2 = 16x答案：C 【解】设M(x0, y0)，由| MF |=5 x0 + = 5 x0 = 5 - 圆心N(+ , )到y轴的距离| NK | = + = | MF |，则圆N与y轴相切，切点即为K(0, 2)，且NK与y轴垂直 y0 = 42p(5 - ) = 16 p = 2或8 .（12）已知点A(-1, 0)，B(1, 0)，C(0, 1)，直线y = ax +b (
7、a 0)将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是：（A）(0, 1)（B）(1- 错误！未找到引用源。, )（C）(1- 错误！未找到引用源。, (D) , )答案：B 【解】情形1：直线y = ax +b与AC、BC相交时，如图所示，设MC = m, NC = n, 由条件知SMNC = mn = 1显然0 n m = 错误！未找到引用源。又知0 m , m n所以错误！未找到引用源。 m 且m 1D到AC、BC的距离为t, 则+ = + = 1 t = = m + f (m ) = m + (错误！未找到引用源。 m 且m 1)的值域为(2, 2 t 因为b =1- CD =1-
8、t ，所以1- 错误！未找到引用源。 b 情形2：直线y = ax +b与AB、BC相交时，如图所示，易求得xM = - , yN = ,由条件知(1+ ) = 1 = aM在线段OA上0 1 0 a bN在线段BC上0 1 b 1解不等式：0 b得 b 综上：1- 错误！未找到引用源。 b 3时, n(A) = 2由P(A) = n(W) = 28 C= 28 n(n - 1) = 56 n = 8（15）设q 为第二象限角，若tan(q + ) = ，则sinq + cosq = .答案：- 【解法一】由q 为第二象限角及tan(q + ) = 0q + 为第三象限角，在q + 的终边上取
9、一点P(-2, -1)，易得sin(q + ) = - sinq + cosq = sin(q + ) = - （16）等差数列an的前n项和为Sn ，已知S10 = 0，S15 = 25，则nSn 的最小值为 .答案：- 49【解法一】由S10 = 0，S15 = 25 a1 = -3，公差d = ， Sn = n(n - 10)将Sn是关于n的函数，其图像关于n = 5对称，n 10时，Sn 10时，Sn 0，所以nSn的最小值应在n = 5, 6, 7, 8, 9中产生，代入计算得n = 7时nSn最小，最小值为- 49.【解法二】同解法一得：Sn = n(n - 10)设f (n )
10、= nSn = (n3- 10n)f (n ) = n(n - )，靠近极小值点n = 的整数为6和7，代入f (n )计算得n = 7时f (n )最小，最小值为- 49.三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a = bcosC + csinB.（）求B；（）若b =2，求ABC面积的最大值.【解】（）由a = bcosC + csinB sin A = sinBcosC + sinCsinB sin (B+C) = sinBcosC + sinCsinB cosB = sinB B = （）由余弦定理
11、得：a2 +c2 - ac = 4 4+ac = a2 +c2 2ac ac = = 2(2 + )ABC面积S = ac 1 + .所以ABC面积的最大值为1 + .（18）如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1 = AC = CB = AB.（）证明：BC1 /平面A1CD（）求二面角D-A1C-E的正弦值【解】（）设AC1 A1C = F BC1 /DF，DF平面A1CD，BC1平面A1CD BC1 /平面A1CD.（）解法一：由AA1 = AC = CB = AB AA1BD = ADBERtA1ADRtBDE A1DA = BED A1DA +BDE = 90o EDA1D CD平面ABB1A1 CDDEED平面A1CD作DGA1C交A1C于G, 则EGA1C，所以DGE为所求二面角的平面角.CD平面ABB1A1 CDA1D A1CDG = CDA1D设AA1 = 2a A1C = 2a，CD = a，A1D = a，DG = = a，DE = a EG = asinDGE = = （）解法二：由AC = CB = AB
