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1、精品文档第一章思考练习1-1、优化设计问题的数学模型是由哪几部分组成的？其一般表达形式是什么？答：优化设计数学模型是优化设计的数学描述，它由三部分组成：设计变量、约束条件和目标函数。设计变量是可供调整变化以改进设计的设计参数。N 个设计变量构成一个N 维设计向量：TXx1 , x2 , xN约束条件是优化设计中为取得可行设计，须根据实际要求、客观条件对设计加的种种限制。一般表达式： hj ( X )h j (x1, x2 , xN ) 0( j 1 JD )g j ( X )g j (x1 , x2 , xN ) 0( j 1 J )目标函数是衡量设计方案X 优劣程度的数值指标,一般使设计变量
2、的某种性态函数。一般表达式：f ( X )f (x1, x2 , xn )它的数学模型一般表达式为：FindXx1 , x2 , xNTRNMinf (X )s.t.hj ( X )0( j1 JD)g j ( X )0( j 1 J )1-2、建立优化设计问题数学模型的一半步骤及其需要注意的问题是什么？答：一、选取设计变量需要注意的问题：（ 1）设计变量必须是独立变量，有明显依赖关系得变量仅取其一。（ 2）设计变量的选取与优化层次及优化问题的提法有关。（ 3）设计变量的数目要适当，过多会使问题变得复杂，求解困难；过少则优化效果差。应选取确有显著影响且能直接调整控制的参数为设计变量。二、建立目
3、标函数需要注意的问题：（ 1）可能是：重量、体积、效益、承载能力、安全度、可靠性、寿命、精度、误差、振动基频、运动误差、速度、加速度、效率等。具体选取哪个取决于对设计的具体要求和客观条件。（ 2）根据工程实际情况定：选最重要的为优化目标。（ 3）有当前设计方案的实际情况确定。（ 4）应考虑指标是否容易给出数学表达。（ 5）要可解析、可数值、可经验、可近似。（ 6）常常以多目标优化是设计更符合实际。三、确定约束条件需要注意的问题：精品文档精品文档（ 1）周密分析，合理确定约束条件，从客观实际出发将确有必要且能表为设计变量的约束函数的限制确定为约束，不必要的限制不仅多余，且缩小了设计空间，会影响优
4、化效果。（ 2）各约束条件应当是独立而不矛盾的。（ 3）要特别注意哪些对优化效果确有影响，即确有限制作用的约束（他们称为制约条件），应注意他们是否可以适当放松以达到更好优化效果。（ 4）按约束函数十设计变量的显函数或隐函数来区别显约束与隐约束。（ 5）采用多种约束函数形式：解析的、数值的、近似的、拟合的、经验的等。1-3、优化设计问题的求解方法有哪几类？迭代法的基本思想及特点是什么？答：优化设计问题的求解方法：一、简单优化问题的求解方法：（ 1）解析法：适用于形式简单、容易求导，可直接写出数学模型显式表达式的、不带或仅带简单等式约束的优化问题，可通过高等数学的极值条件，解方程求解。（ 2）图解
5、法： N 维情况，通过作图求解，简单直观。二、数值迭代法：（ 1）数学规划法：根据函数及其导数的局部性态决定迭代方向和步长。迭代通式：X (k 1) X ( k)(k) S( k)（ 2）准则法：多用于结构优化复杂结构优化。迭代通式：X (k 1)(X (k) )迭代法的基本思想：根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目标函数值下降的方向， 逐步向目标函数值得最优点进行探索，逐步逼近到目标函数的最优点或直至达到最优点。迭代法的特点：（ 1）是数值计算而不是数学分析方法；（ 2）具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；（ 3）最后得出的是逼近精确解得近似解。1-4、 欲造容积为 V
6、 的长方形无盖水箱，如何选定其长、宽、高，才能使用料最少，写出数学模型 。解：设水箱的长、宽、高分别为：x1,x2,x3。目标函数为：f ( X ) x1 x22( x2 x3 x1 x3 )约束条件为：h( X )x1 x2 x3Vg1 ( X )x10g 2 ( X )x20g3 ( X )x30因此数学模型为：FindXx1, x2 , x3 TR3Minf (X )x1 x22( x2 x3x1 x3 )精品文档精品文档s.t.h( X )x1 x2 x3Vg1 ( X )x10g 2 ( X )x20g3 ( X )x30第二章思考与练习2-1 、梯度与海森阵的表达与意义是什么？梯度
7、与方向导有何关系？答：梯度是多元函数对诸设计变量的一阶导数，梯度的方向就是函数变化率最大的方向，梯度的模就是这个最大变化率。梯度的表达形式：Tffff ( X )x2xNx1海森阵是多元函数关于诸设计变量的二阶导数矩阵。表示形式：2f2f2fx1 2x1 x2x1 xN2 f ( X ) H ( X )2f2f2fx2x1x2x2xN22f2f2fxN x1xN x2xN xN N N梯度与方向导数的关系：多元函数在某方向上的方向导数是梯度在该方向上的投影。2-2 、求几种特殊函数的梯度与海森阵：线性函数：BT Xc ；二次型函数：XTAX一般二次函数：X T AXBT Xc解：（ 1）线性函
8、数：BT Xc设 Xx1 , x2 , , xNTxi 为列向量则 f ( X )BT X c BT x1 BT x2TBT xNc所以精品文档精品文档10T0010f ( X )BT 0BT 0BT 0001100T010B 000B001N N由于 f ( X ) 为 X 的线性函数，因此海森阵H （X ）=0（ 2）二次型函数：XTAX设：a11a12a1Na21a22a2NAa N 1a N 2a NNf ( X ) X T AXx1x2xN A x1 x2xNTNaij xi x ji , j 1所以f ( X ) AX A T X则海森阵为：H(X)A A T（3）一般二次函数：X
9、TAXBT Xc有上述结果得：梯度 ： f ( X ) AX A T X B海森阵 ： H(X)AA T2-3 、多元函数的无约极值、等式约束极值及不等式约束极值的必要条件的具体形式是什么？充分条件是什么？答：多元函数的无约束局部极值极值条件：设多元函数f（ X ）在 X* 处有一阶及二阶连续偏导数。精品文档精品文档必要条件： f （ X ）在 X* 点取局部极值的必要条件为：f ( X *)0充分条件： f （ X ）在 X* 点取局部极值的充分条件为：H（ X* ）为正定或负定，即对任何非零N 维向量 Y 有 YT H (X *)Y0或YT H (X*)Y0正定时有极小值，负定时有极大值。
10、等式约束极值条件：也就是拉格朗日条件：设 （f X ），h j ( X ) 在 X* 领域内为连续函数， 若 h j ( X ) 的雅可比矩阵满秩， 在满足 h j ( X )0下， X* 点是局部极值点的必要条件为：存在，使Jf ( X *)jh j ( X *) 0j1或写为：J（ 1） f ( X *)j h j ( X *) 0j 1（ 2） hj( X )0（ j=0J）（ 3）h1 (X *), hJ ( X*) 的秩为 J充分条件：当 f（ X ）为凸函数、可行域 D 为凸集的凸规划问题时，必要条件也就是他的充分条件，因此充分条件为：（ 1）f （ X ）为凸函数、可行域D 为凸
11、集J（ 2）f ( X *)jh j ( X *)0j 1（ 3） hj ( X ) 0（ j=0 J）（ 4）、h1 ( X *),hJ ( X *)的秩为 J第 (3)条为正则条件即要求诸约束相互独立且相容。不等式约束的极值条件：必要条件：J（ 1）Lf ( X *)j g j ( X *) 0j 1（ 2）j0（ j=1J）（ 3）jg j(X*)0（j=1J ）精品文档精品文档（ 4） g j ( X *)0（j=1J）另外还要满足正则条件，即在X* 点诸临界约束的梯度线形无关，相互独立。充分条件：当 f（ X ）为凸函数、可行域 D 为凸集的凸规划问题时，必要条件也就是他的充分条件，因此充分条件为：（ 1）f （ X ）为凸函数、可行域D 为凸集J（ 2）Lf ( X *)jg j ( X *) 0j1（ 3）j0（ j=1J）（ 4）j g j ( X *)0（j=1J ）
