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1、第二章勾股定理、平方根专题第一节勾股定理、勾股定理：1勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a, b，斜边长为c,那么勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c有下面关系：a2+ b2= c2,那么这个三角形是直角三角形。2. 勾股数：满足a2+ b2= c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a, b, c、为勾股数，那么ka, kb, kc同样也是勾股数组。）* 附：常见勾股数：3,4,5 ; 6,8,10 ; 9,12,15 ; 5,12,132 2 23. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a +b =
2、c，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90的三角形是直角三角形。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；(2) 若c2= a2+匕2,则厶ABC是以/ C为直角的三角形；若a2 + b2v c2,则此三角形为钝角三角形(其中 c为最大边)；若a2 + b2 c2,则此三角形为锐角三角形(其中c为最大边)4. 注意：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(2) 在直角三角形中，如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的 一半。(3) 在直角三角形中，如
3、果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角 等于30。5. 勾股定理的作用：(1) 已知直角三角形的两边求第三边。(2) 已知直角三角形的一边，求另两边的关系。(3) 用于证明线段平方关系的问题。(4) 利用勾股定理，作出长为、n的线段二、平方根：(11 19的平方)1、 平方根定义：如果一个数的平方等于 a,那么这个数就叫做 a的平方根。(也称为二次2方根)，也就是说如果 x =a,那么x就叫做a的平方根。2、平方根的性质： 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；一个正数a的正的平方根，记作“ a ”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“一 a ”，这两个平方根合起来记作“土-a
4、”。( a叫被开方数， “.一 ”是二次根号，这里“、厂”，亦可写成“ 2厂”) 0只有一个平方根，就是 0本身。算术平方根是 0。 负数没有平方根。3、开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。4、(1)平方根是它本身的数是零。(2) 算术平方根是它本身的数是 0和1。(3) . a a a 0 , . a2 a a 0 , a2a a 0 .(4) 一个数的两个平方根之和为0三、立方根：(1 9的立方)1、立方根的定义：如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a的立方根。(也称为二次方根)，也就是说如果x3=a,那么x就叫做a的立方根。记作“ 3 a ”。2
5、、立方根的性质： 任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 互为相反数的数的立方根也互为相反数，即3 a = 3 a (3 a)33 a3 a3、开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算为互逆运算，开立方的运算结果是立方根。4、立方根是它本身的数是 1, 0，-1。5、平方根和立方根的区别：（1 ）被开方数的取值范围不同：在.a中，a 0,在3 a中，a可以为任意数值。（2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个；负数没有平方根，而它有一个立方根。6、立方根和平方根：不同点：（1） 任何数都有立方根，正数和 0有平方根，
6、负数没有平方根；即被开方数的取值范围 不同：土 Ja中的被开方数a是非负数；Va中的被开方数可以是任何数 .（2）正数有两个平方根，任何数都有惟一的立方根；（3） 立方根等于本身的数有 0、1、一 1，平方根等于本身的数只有 0.共同点：0的立方根和平方根都是 0.四、实数：1、定义：有理数和无理数统称为实数无理数：无限不循环小数称（包括所有开方开不尽的数，n）。有理数：有限小数或无限循环小数注意：分数都是有理数，因为任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式2、实数的分类：有理数正有理数零有限小数或无限循环小数实数负有理数无理数正无理数负无理数无限不循环小数实数的性质：实数的相反数、
7、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义是一样的。 实数同有理数一样，可用数轴上的点表示，且实数和数轴上的点对应。 两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。 实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算。3、近似数：由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。取近似值的方法一一四舍五入法4、 有效数字：对一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数都称为这个近似数的有效数字5、科学记数法：把一个数记为a 10n（其中1 a 10,n是整数）的形式，就叫 做科学记数法。6、实数和数轴：每一个实数都可以用
8、数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。实数与数轴上的点是对应的。勾股定理：(一)结合三角形：2 21已知 ABC的三边a、b、c满足(a b) (b c) 0，贝y ABC为三角形2. 在 ABC 中，若a2= ( b + c) ( b-c)，贝y ABC 是三角形，且 903. 在 ABC 中，AB=13 , AC=15，高 AD=12，贝U BC 的长为 4. 已知：在 ABC 中，三条边长分别为 a、b、c , a = n21, b=2 n , c = n21 ( n 1)试说明：C=90。3. 若 ABC的三边a、b、c满足条件a2+b 2+c2+50=6a+8b+1
9、0c，试判断 ABC的形状。4.已知Ua 6 2b 8 (c 10)20,则以a、b、c为边的三角形是 (二)、实际应用：1. 梯子滑动问题：(1) 一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7 m (如图)，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 m，那么梯子底端将向左滑动 米。(2) 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米,如果梯子的顶端下滑 1米，那么，梯子底端的滑动距离1米，(填“大于”，“等于”，或“小于”)2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系:h,则下列式子总能成立的是（ 22.2c2111A. ab bB. a b2hc.abh直角
10、三角形两直角边长为a, b,斜边上的高为D.b23. 爬行距离最短问题：1如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点Ci处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙.（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点 G处静止不动，如图，在盒子的内部我们先取棱BB的中点E,再连接AE、EG虫乙如果沿路径 A-E-C1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲仔细 体会其中的道理，并在图中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点 A沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲；（请简要说明画法） 如图，假设昆虫甲从顶点G1,以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱G1G向下爬行，同时昆虫乙从顶点 A以2
11、厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕 捉到昆虫甲？（精确到1秒）图a图b4折叠问题：AG=6 , BG=8，将 ABC折叠，使点 B与点A1如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 重合，折痕为DE，则GD等于（）75G.D.-431. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了 500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是 米。2. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米。3. 如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离4. 如图，欲测量松花江的宽度， 沿江岸取B、C两点，在江对
12、岸取一点 A，使AC垂直江岸, 测得BC = 50米，/ B = 60。，则江面的宽度为 。（三）求边长:1如图所示，在四边形 ABCD中， BAD= 90 ,DBC= 90 , AD=3 , AB=4 , BC=12 ,求CD。（五）方向问题:1.有一次，小明坐着轮船由 A点出发沿正东方向 AN航行，在A点望湖中小岛M，测得/ MAN = 30,当他到B点时，测得/ MBN = 45, AB = 100米，你能算出 AM的长吗？（六）利用三角形面积相等:1如图，小正方形边长为 1，连接小正方形的三个可得 ABC，则边AC上的高为（ ）B.10 5C. 5D. 555(七) 旋转问题:-、平方
13、根:(一).定义:1. (1)81的平方根是9的数学表达式是(A. 、 819B. 、. 819)(2 )若3a+1没有算术平方根，则a的取值范围是 若3x-6总有平方根，则x的取值范围是 。1若式子x的平方根只有一个，则x的值是3(4 )若(x 3)2 y 40,则 x + y =(5)代数式 3 、a b的最大值是 ，这时a、b之间的关系是 4，贝U m的平方根是(3) 36 ( x-3) 2 -25=0(6 )若,m 10 ,则 m =；若 m2.列方程求值：2 2(1) x =196 ;(2) 5x -10=0 ;4. (1)已知一个正数的平方根是2X-1和3-x，求这个数5. 估算：
14、(1)比较大小:(2 )右 m = J40则估计m的值所在的范围是(A. 1 m 2B.C. 3 mD. 4 m 5二、立方根1.定义：(1)如果a是x的立方根,A. -a也是x的立方根C. a是-x的立方根2根据定义求值：(1)求值：那么下列说法正确的是(B. -a是-x的立方根D. -a和a都是-x的立方根21083125(2)方程:1252163估算：(1)估计68的立方根大小在()A. 2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间4.平方根与立方根相结合：(1 )若2x+1的平方根是 5，那么5x+4的立方根是 (2) 已知 x 8，求3V(3) 已知m满足2m 13lx的值。83 , k、n满足k3 2. 91 7n 0，求 k. m2 3n 的值三、实数：1.实数的定义：1.卜列说法止确的是( )
