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1、立体几何知识要点一、知识提纲（一）空间的直线与平面平面的基本性质 三个公理及公理三的三个推论和它们的用途 斜二测画法 空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线公理四（平行线的传递性） 等角定理异面直线的判定：判定定理、反证法异面直线所成的角：定义（求法） 、范围直线和平面平行 直线和平面的位置关系、 直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直直线和平面垂直：定义、判定定理三垂线定理及逆定理5. 平面和平面平行 两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质6. 平面和平面垂直 互相垂直的平面及其判定定理、性质定理（二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图）（三）夹角与距离7. 直线
2、和平面所成的角与二面角 平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平 面所成的角、直线和平面所成的角二面角：定义、范围、二面角的平面角、直二面角互相垂直的平面及其判定定理、性质定理8. 距离点到平面的距离直线到与它平行平面的距离两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段（四）简单多面体与球9. 棱柱与棱锥多面体棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、 正方体；平行六面体的性质、长方体的性质棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质直棱柱
3、和正棱锥的直观图的画法10. 多面体欧拉定理的发现简单多面体的欧拉公式正多面体11. 球球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离球的体积公式和表面积公式二、常用结论、方法和公式1. 从一点 O 出发的三条射线 OA、OB、OC，若AOB=AOC，则点 A 在平面BOC上的射影在 BOC的平分线上；2. 已知:直二面角 MABN 中，AE M，BF N, EAB= 1,ABF= 2 ，异面直线 AE 与 BF 所成的角为 ，则 cos cos 1 cos 2;CA13. 立平斜公式：如图， AB 和平面所成的角是 1 ，AC 在平面内，BC和AB的射影 BA1成 2 ，设 ABC= 3
4、,则 cos 1cos 2=cos 3；4. 异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面 体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；5. 直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线 段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的 垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；6. 二面角的求法（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点） ，分别在两个半平面内作 棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认
5、真观察图形的特性；（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定 理或逆定理作出二面角的平面角；（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个 半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与 棱垂直；（4）射影法：利用面积射影公式 S射S原 cos ,其中 为平面角的大小，此法 不必在图形中画出平面角；特别 :对于一类没有给出棱的二面角， 应先延伸两个半平面， 使之相交出现棱， 然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法） 。7. 空间距离的求法（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作 出公垂线，然后再进行
6、计算；（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此， 确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等 体积法列方程求解；8. 正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则 S侧 cos =S底；9. 已知 :长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为, , ,因此有cos2 +cos2 +cos2 =1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分 别为 , , , 则有 cos2 +cos2 +cos2 =2;10. 正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；11. 欧拉公式：
7、如果简单多面体的顶点数为 V,面数为 F,棱数为 E.那么 V+F E=2； 并且棱数 E各顶点连着的棱数和的一半各面边数和的一半；12. 柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V 柱体 =Sh.其中 S是柱体的底面积， h 是柱体的高 .13. 直棱柱的侧面积和全面积S直棱柱侧 = c （c表示底面周长， 表示侧棱长 ）S棱柱全 =S 底+S 侧14棱锥的体积 :V 棱锥= 1Sh，其中 S是棱锥的底面积， h 是棱锥的高。 15.球的体积公式 V= 4 R3 ，表面积公式 S 4 R2 ；掌握球面上两点 A、B 间的距 3离求法：（ 1）计算线段 AB 的长，（2）计算球心角 AOB 的弧度数； （3）用弧长 公式计算劣弧 AB 的长；直线与平面的平行和垂直关系的证明思路a / ba / bb /aba / ba ,ba /ab /a b ca / cb / c a / bbaa / b a /PA 于 A, PO 斜交 于 A,a.a OA a PO线 线 平 行a / ab线面平a / baa /a,bo b a a b Oa/ ,b /a,b b oa a b O b a a, ba/ a,b /b/aa面面平m an m n GmnG a m, a naab b a b线 面 垂 直面面垂直/abcO a b, b c ca
