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1、第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数专题一锐角与其他知识的综合运用1 如图，已知O的半径为1，锐角ABC内接于O，BDAC于点D，OMAB于点M，则sinCBD的值等于（）A.OM的长B.2OM的长C.CD的长D.2CD的长2 如图，在RtABC中，C90，A30，E为AB上一点，且AE:EB4:1， EFAC于F，连接FB，则tanCFB的值等于（）A.B.C.D.专题二探究题3在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C为第一象限内一点，且AC2，设tanBOCm，则m的取值范围是 .4 如图（1），由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形， 得SA
2、BCbcsinA 即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半 如图（2），在ABC中，CDAB于D，ACD=，DCB= SABCSADCSBDC，由公式，得ACBCsin（）ACCDsinBCCDsin， 即ACBCsin(）ACCDsinBCCDsin 你能利用直角三角形的边角关系，消去中的AC、BC、CD吗？若不能，请说明理由；若能，请写出解决过程专题三新定义问题5在平面直角坐标系中，设点P到原点O的距离为r，看作是OP以x轴正半轴方向为起始位置绕点O逆时针旋转的角度，则用r，表示点P的极坐标，显然，点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系例如：点P的坐标为（1，1），则其极坐标为，45
3、若点Q的极坐标为4，60，则点Q的坐标为（）A.（2，2）B.（2，2）C.（2，2）D.（2，2）6通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图，在ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60 ；（2）对于0A180，A的正对值sadA的取值范围是 ；（3）如图，已知sinA，其中A为
4、锐角，试求sadA的值.专题四方案设计问题7如图，由于水资源缺乏，B、C两地不得不从黄河上的扬水站A处引水，这就需要在A、B、C之间铺设地下输水管道有人设计了三种铺设方案：如图(1)、(2)、(3)，图中实线表示管道铺设线路，在图（2）中，ADBC于D；在图（3）中，OAOBOC为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短已知ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，请你通过计算，判断哪个铺设方案最好【知识要点】在RtABC中，若C90， 则，cosA，tanA3 特殊角的三角函数值：304560sincostan1【温馨提示】1研究锐角三角函数通常将锐角放在直角三角形中解决.2锐角
5、的正弦函数值随着角的增大而增大；锐角的余弦函数值随着角的增大而减小；锐角的正切函数值随着角的增大而增大.3圆中的切线、圆中的直径常常是构造直角的工具.4如果直接求一个角的三角函数值不容易时，还可以通过求其等角或余角的三角函数值来解决.【方法技巧】1在RtABC中，sinAsinB1，sin2Acos2A1，tanA.2若AB90，则sinAcosB，cosAsinB，tanAtanB1.3在网格中计算角的三角函数值时，常利用勾股定理求锐角所在直角三角形的边长.参考答案1A【解析】连接AO并延长交圆于点E，连接BE由题意得CE，且ABE和BCD都是直角三角形，CBDEABOAM是直角三角形，si
6、nCBDsinEABOM.2C【解析】根据题意：在RtABC中，C90，A30，设AB2x，则BCx，ACx在RtCFB中有CFx，BCx则tanCFB3m【解析】当OC与圆A相切（即到C点）时，BOC最小，此时AC2，OA3，由勾股定理得OC.BOAACO90，BOCAOC90，CAOAOC90.BOCOAC.tanBOC.随着C的移动，BOC越来越大，但不到E点，即BOC90.tanBOC.4解：能消去AC、BC、CD，得到sin()sincoscossin过程如下：ACBCsin()ACCDsinBCCDsin两边同除以ACBC，得sin()sinsin.cos，cossin()sinc
7、oscossin5A【解析】作QAx轴于点A，则OQ4，QOA60，故OAOQcos602，AQOQsin602，点Q的坐标为（2，2）故答案选A6解：（1）根据正对定义，当顶角为60时，等腰三角形底角为60，则三角形为等边三角形，则sad601故答案为1 （2）当A接近0时，sadA接近0； 当A接近180时，等腰三角形的底接近于腰的2倍，故sadA接近2 于是sadA的取值范围是0sadA2 （3）如图，在ABC中，ACB90，sinA 在AB上取点D，使ADAC. 过点D作DHAC，H为垂足，令BC3k，AB5k，则ADAC4k. 又在ADH中，AHD90，sinA,DHADsinAk.
8、 AHk 在CDH中，CHACAHk，CDk 由正对的定义可得sadA，即sadA7 解：图（1）所示方案的线路总长为ABBC2a； 题图（2）中，在RtABD中，AD=ABsin60， 图（2）所示方案的线路总长为ADBC（1）a； 如图，延长AO交BC于E，ABAC，OBOC，OEBC， BEEC 在RtOBE中，OBE30，OBa 图（3）所示方案的线路总长为OA+OB+OC=3OBa 比较可知，a（1）a2a，图（3）所示方案最好28.2解直角三角形专题一利用解直角三角形测河宽与山高1如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸
9、选取一个参照点C，测得CAD30；小丽沿河岸向前走30 m选取点B,并测得CBD60.请根据以上数据,用你所学的数学知识,帮助小丽计算小河的宽度.2在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C处）和湖东岸的山峰老君岭（D处）的仰角都是45，游船向东航行100米后（B处），测得太婆尖、老君岭的仰角分别为30、60试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？（1.732，结果精确到1米）专题二利用解直角三角形测坝宽与坡面距离3如图，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽AD(iCE:ED，单位：m)专题三利用解直角三角形解决太阳能问题4某市规划局计划在一坡
10、角为16的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示已知支架AC与斜坡AB的夹角为28，支架BDAB于点B，且AC、BD的延长线均过O的圆心，AB12 m，O的半径为1.5 m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离（结果精确到0.01 m）（参考数据：cos280.9，sin620.9，sin440.7，cos460.7）【知识要点】.解直角三角形的几种基本图形： 图形1： tan30， ABDA，BDADa， tan60 ， ， a . . 图形2： tan30，tan60， . 图形3： ACCDax， ACBEDEx , BADBDA30, tan30，tan60,ABBDa， . .
11、xBDa .【温馨提示】.解直角三角形的基本思想是“化斜为直”，在转化过程中，尽量保证已知度数的角的完整性.当一个三角形是钝角三角形，且其钝角的补角是30、45、60度时，常常从该钝角顶点向对边作垂线构造“双直角三角形”.【方法技巧】.双直角三角形中，公共直角边是“桥梁”，通过它建立起两直角三角形的联系.如果条件中给出参考数据，结合原始数据，构造直角三角形.当计算过程中用到了参考数据，你的思路一定是正确的.参考答案1解：示意图如下： 连接AC，BC，过点C作CEAD于E . 由题意得，ACBCBECAD=603030， CADACB， BCAB30. 在RtBEC中，CEBCsin603015（m）. 答:小河的宽度为15m.2解：设太婆尖高h1米，老君岭高h2米，依题意，有 解得（米），(米). 答：太婆尖的高度约为137米，老君岭的高度约为237米 . 3解：如图所示，过点B作BFAD于F，可得矩形BCEF， EFBC4，BFCE4 在RtABF中，AFB90，AB5，BF4， 由勾股定理可得 RtCED中， ED2CE248 ADAFFEED34815(m)4解：过点O作水平地面的垂线，垂足为E 在RtAOB中，cosOAB， 即cos28，OA.
