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1、平面几何知识点拨一、等积模型 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；C D两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图S1: S2 = a: b 夹在一组平行线之间的等积变形，如右图Sr .=SA.；ACD AdCD反之，如果SA AD = SABD，则可知直线AB平行于CD . 等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）； 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它 们的高之比二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形
2、叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.BC图A如图在AABC中，D,E分别是AB, AC上的点如图（1）（或D在BA的延长线上，E在AC上）， 则 5小昨：SE =（AB x AC）: （AD x AE）图1三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）： S : S = S : S 或者 S x S = S x S AO: OC =（S + S ）:（S + S ）124313241243蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造 模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系; 另一方面，也可以得到与面
3、积对应的对角线的比例关系.梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）: S : S = a 2: b 2 S : S : S : S = a2: b2: ab: ab ； S的对应份数为（a + b）2.四、相似模型（二）沙漏模型（一）金字塔模型河面积的二倍.角形的面积，x 4 十 216.5【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三E DEF面积为33.B _漕 F C【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形=6 x 6 -1.5 x 6 十 2 - 2 x 6 十 2 - 4G,所以长方形EFGHAB
4、AC BC AG S : S= AF2： AG2.所谓的相似三角CH，就是形状相同，大小不同的三角形只要其形状不改变，不论大小怎样改变 它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下: 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比;相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.五、燕尾定理 在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点。
5、，那么S : S = BD : DC . 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为咒B渊AACO的形状 很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着 广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的 三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例1】 如图，正方形ABCD的边长为6，AE = 1.5，CF = 2.长方形EFGH的面积为的宽为几厘米?积相等（长方形和正方形可以【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.证明：连接AG .（我们通过ABG把
6、这两个官方形和正方形联系在一起）.1.在正方形ABCD中，%ABG = - X Ab xGAB边上的高，C=3S（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）2 ABCD同理，S=1S ABG 2 EFGB正方形ABCD与长方形EFGB面积相等.长方形的宽=8x 8 -10 = 6.4 （厘米）.H为AD边上任意一点，【例2】 长方形ABCD的面积为36cm2, E、F、G为各边中点， 问阴影部分面积是多少？【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图:SABCDS AAHBS ACHB即S + SAEHB,SAEBFSAEHB、NFHB2 ACHB 、2 AAHB=36SA
7、DHG 2 S ADHC+ SACHD1+ S = (SABHFADHG2，Saehb + S11+ S ) = x 36 = 18 . ACHD2，ABHFADHG阴影+ AEBF2 (2 x AB) x (2 x BC) = 1 x 36 = 4.5 .AAHB+ SACHB+SADHG1而=1 x BE x BF = -x 2所以阴影部分的面积是：S 阴影AEBF解法二：特殊点法.找H的特殊点，把H点与D点重合，8=18 - S阴影AEBF=18 - 4.5 = 13.5那么图形就可变成右图：1S = S - S - S - S = 36 - x阴影 ABCDAAEDABEFACFD21
8、 1x 36 -2 2根据鸟头定理，1111x x x 36 一 x2222x 36 = 13.5【例3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70, AB = 8 , AD = 15，四边 形EFGO的面积为.ADBFC【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和， 以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积.由于长方形ABCD的面积为15 x8 = 120，所以三角形BOC的面积为120x- = 30，所 43以三角形AOE和DOG的面积之和为120x - - 70 = 20 ；4一、，一，（1 1 ，一，又二角形AO
9、E、DOG和四边形EFGO的面积之和为120x - - - = -0，所以四边形 12 4 ）EFGO 的面积为-0 - 20 = 10 .另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积=二角形AFC面积+三角形BFD面积-白 色部分的面积，而三角形AFC面积+三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60， 白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120-70 = 50，所以四边形的 面积为60 - 50 = 10 .【例4】已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、 丙面积和为143，求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC ）【解析】因为D、E、F分别为
10、三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线， 也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于 三角形ABC的一半，即为200.根据图形的容斥关系，有aabC 丙AABN * AAMC AMHN， 即 400危丙=200 + 200*，所以 S丙=Samhn .又S阴影+ %邓甲+ S乙+ ，所以S = S + S + S - S = 143 -1 x 400 = 43阴影 甲 乙 丙AADF4.【例5】 如图，已知CD = 5，DE = 7，EF = 15，FG = 6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG
11、的面积是.【解析】连接AF ,GBD .G根据题意可知，CF = 5 + 7 +15 = 27DG = 7 +15 + 6 = 28 ；所以，于是:S=15 SNBEF27 XCBF21S+ 15 S28 ADG27 XCBFS=12 SABEC 27 ACBF=65. S；28 aadgS =21S ，S = S ， AAEG 28 AADGAAED 28 AADG12+ 护 ACB疽 38；可得SAADG= 4 故三角形ADG的面积是40.【例6】如图在 ABC中，D, E分别是AB, AC上的点，Sa= 16平方厘米，求 ABC的面积.且AD : AB = 2:5，AE: AC = 4:
12、7，【解析】连接 BE，S : S = AD : AB = 2:5 = (2 x 4):(5 x 4)，S : S = AE: AC = 4:7 = (4x5):(7 x5)，所以 S : S = (2x 4) : (7x 5),设 S二 =份，则SBC =35份，SE =16平方厘米，所以1份翼2平方厘米，35份就 是7E平方厘米，ABc的面积是光平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角 定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.【例7】如图在ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB : AD = 5:2， AE: EC = 3: 2，么海=12平方厘米
13、，求 ABC的面积.BC【解析】连接 BE，S : S = AD : AB = 2:5 = (2 x 3):(5 x 3) ABE : ABC = DAe : aC= 3: (3 + 2) = (3 x 5): (3 + 2) x 5，所以 S : S= （3x 2）夕（务! 6 : 25 设 5= 6 份，则 5= 25 份，S/ade = 12平方厘AB米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，首也C的面积 是5苻平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于 对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比【例8】 如图，平行四边形ABCD，BE = AB，CF
14、= 2CB，GD = 3DC，HA = 4AD，平行 四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.【解析】连接AC、BD .根据共角定理.在 ABC和BFE中，ZABC与ZFBE互补，5_AB - BC1 x 11 ABCsBE - BF1 x 33fbe又s1，所以s二 3 . ABC FBE同理可得s=8， S 15，gcf DHG所以s s+ S + SEFGH AEHCFG DHG所以 ABCD 一21 .s3618EFGHS ?EH = 8$ BEF ABCD=8 + 8 +15+3+2 = 36 .【例9】如图所示的四边形的面积等于多少?【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋 转到三角形OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方 形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.
