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1、第三章 求和与积分3.1 有限和与无限和3.1.1 有关概念微积分的两大部分是微分与积分，微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数。所以，微分与积分互为逆运算。定积分是求函数 F(x) 在区间 (a,b) 中图线下包围的面积，即由 y=0, x=a，x=b, y=f(x) 所围成的图形面积。定积分的定义：设函数 f(x) 在区间 (a,b) 上连续，将区间 (a,b) 分成 n 个子区间 (a,x)(x,x)(x,x)(x,x)(x,b), 可知各区间长度依次是，在每一个子区间（-1，），任取一点，作和式 设，则当时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(
2、x)在区间（a,b）的定积分。其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间(a,b)叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫积分变量，f(x)dx叫被积式，“”叫做积分号，之所以叫定积分，是因为它积分后得出植是确定的，是一个数，而不是一个函数。一 和与级数设给定一个数列U，U， ，U，. ，则称多个有序数列的形式和：U+U+ +U+. 为无穷数列（简称数列），记做，即= U+U+ +U+.。当n取不同的正整数时，可由U得到相应的项，故称U为级数的一般项或通项。二 收敛级数的基本性质 性质1 如果常数K0，则级数与有相同收敛性。性质2 若级数与均收敛，则级也收敛，且=亦是说，两个收敛级数逐项相
3、加或逐项相减所组成的新级数任然收敛。性质3 增加、减少或改变级数的有限项，不改变级数的收敛性，但改变收敛级数的和。性质4 （级数收敛的必要条件）如果级数收敛，则0.例：估计定积分的值。解： 先求在上的最大值和最小值，令，得到驻点x=0，比较在驻点及区间端点处的函数值。，得到最大值M=1,最小值M=估值性质得，3.2.3 简单积分的计算一 不定积分与不定积分计算牛顿莱布尼茨公式说明，求定积分的关键在于（3，1）式中的函数。为此，我们给出如下定义。定义2 若，则称的原函数，称为的不定积分常记做，即=附 基本积分表 ，从而有逐项积分公式 若在区间上连续且单值，则例1： 求不定积分.解：利用三角恒等式
4、把被积函数变形后，再逐项积分。被积函数为三角函数时，常需要进行降次处理或凑成相应公式的形式，例1就是先降次再进行积分的一个例子。例2： 计算解： 由积分公式（3）可知，的原函数是，所以：例3： 计算反常积分解： 即反常积分收敛且为。3.3 定积分应用由于有了牛顿布莱尼茨公式，计算定积分的值已不是多么复杂的事，因此利用定积分来解决各个领域的应用问题也就更加具有实际意义。例1： 求由直线 x-y=0 及抛物线 y=x-2x 所围成的面积。解： 由方程可自行作图，可得直线与抛物线的交点坐标为（0,0），（3,3）。选 x 为积分变量， ，面积元素，从而所求面积为例2： 航通公司一次投资100万元建造一条生产流水线，并于一年后建成投产，开始取得经济效益，设流水线的收益是均匀货币流，年流量为30万，已知银行年利率为10%，问多少年后该公司可以收回投资？解： 设 x+1 年后可以收回投资，此时流水线共运行了 x 年，依公式（3.3）可计算出 x 年中流水线的总收益为 （万元）这A（x）万元在x+1 年之前（即开始投资时）的价值为 （万元）因此，当 B(x) =100万元时恰好收回投资，即，解方程得（年）所以，5.6年后该公司可以收回全部投资。 小组成员：李智，方捷，涂辉，罗霞，王雪
