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1、专题：圆的综合题一、知识要点1、圆内接四边形：（图1）圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角即：在O中， 四边形ABCD是内接四边形 C+BAD=180 B+D=180DAE=C2、弦切角定理（图2）弦切角定理：弦切角等于所夹弧所对的圆周角 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。即：MN是切线，AB是弦 BAM=BCA3、切线长定理（图3）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。图2图3即：PA、PB是的两条切线图1 PA=PB PO平分BPA4、相交弦定理：（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相
2、等（图4）即：在O中，弦AB、CD相交于点P PAPB=PCPA（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径ABCD（图5） CE=DE=AEBE（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项即：在O中，PA是切线，PB是割线（图6） PA=PCPB=PDPE（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（图16）即：在O中，PB、PE是割线图7图6图4图5 PCPB=PDPE5、两圆公共弦定理（图7）圆公共弦定理：连心线垂直平分公共弦 即：O、O相交
3、于A、B两点 O O垂直平分AB6、圆的外公切线（图8）两圆外公切线长的计算公式：公切线长：在RtOOC中，7、圆内正多边形的计算（1）正三角形（图9）在O中 ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行，OD:BD:OB=（2）正四边形（图10）同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE:AE:OA=（3）正六边形（图11）图9同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，AB:OB:OA=图11图10图8二、知识运用典型例题例1、如图， AB是O的直径，BAC=30，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且ECF=E（1）证明CF是O的切
4、线；（2）设O的半径为1，且AC=CE，求MO的长例2、如图，点A，B，C，D是直径为AB的O上四个点，C是劣弧BD的中点，AC交BD于点E， AE2， EC1（1）求证：； （2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由（3）延长AB到H，使BH OB求证：CH是O的切线例3、(2009年温州)如图，在ABC中，C90，AC3，BC40为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连结DE (1)当BD3时，求线段DE的长；(2)过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F求证：FAE是等腰三角形例4、(
5、2008年南充市) 如图，已知O的直径垂直于弦于点，过点作交的延长线于点，连接并延长交于点，且（1）试问：是O的切线吗？说明理由；（2）请证明：是的中点；（3）若，求的长例5、（2008湖南邵阳）如图，正方形的边长为1，以为圆心、为半径作扇形与相交于点，设正方形与扇形之间的阴影部分的面积为；然后以为对角线作正方形，又以为圆心，、为半径作扇形，与相交于点，设正方形与扇形之间的阴影部分面积为；按此规律继续作下去，设正方形与扇形之间的阴影部分面积为（1）求；（2）写出；（3）试猜想（用含的代数式表示，为正整数）例6、如图9，抛物线y = ax2 + bx + c经过A（1，0）、B（5，0）两点，最
6、低点的纵坐标为4，与y轴交于点C。（1）（3分）求该抛物线的函数解析式；（2）（3分）如图9 -1，若ABC的外接圆O1交y轴不同于点C的点D，且CD = AB，求tanACB的值。xyCDOABEO1（2）xyCDOABO1（1）（3）（4分）如图9 2，设O1的弦DE/x轴，在x轴上是否存在点F，使OCF与CDE相似？若存在，求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由。三、知识运用提高训练1、（2008年辽宁省十二市）如图1，直线与轴、轴分别相交于两点，P圆心的坐标为，与轴相切于点若将P沿轴向左移动，当P与该直线相交时，横坐标为整数的点有图3 个图2图12、（2008乌鲁木齐）如图
7、2所示的半圆中，是直径，且，则的值是 3、(2008年南充市) 如图3，从O外一点引O的两条切线，切点分别是，若，是弧AB上的一个动点（点与两点不重合），过点作O的切线，分别交于点，则的周长是 4、(08长春中考试题)如图4，在ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是A上一点，且EPF=40，则图中阴影部分的面积是（ ）A B C DACBDO图5图6图4图75如图5，已知是O的直径，弦，那么的值是 CD= .6、如图6，已知圆锥的底面圆半径为r(r0)，母线长OA为3r，C为母线OB的中点，在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点A爬行到点C的最短路
8、线长为（ ）A.rB. rC. rD.3r7、如图7，在中，经过点且与边相切的动圆与分别相交于点，则线段长度的最小值是（ ）ABCD8、已知O过点D（4，3），点H与点D关于y轴对称，过H作O的切线交y轴于点A（如图）。（1）求o的半径；图HA图D(4,3)xyoCBPGEFD(4,3)Oxy（2）求sinHAO的值；（3）如图，设o与y轴正半轴交点为P，点E、F是线段OP上的动点（与点P不重合），连结并延长DE、DF交o于点B、C，直线BC交y轴于点G，若DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索sinCGO的大小怎样变化？请说明理由。第十四讲 知识运用课后训练 等级 1、如图1，圆心角都是90
9、的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA3，OC1，分别连结AC、BD，则图中阴影部分的面积为（ ）D图OAFCBE图2图3图1A. B. C. D. 3、如图2，O内切于，切点分别为已知，连结，那么等于（） 3、如图3，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）A6cmBcm C8cmDcm4、（2008年潍坊市）如图，圆切轴于原点，过定点作圆切线交圆于点已知，抛物线经过两点（1）求圆的半径；（2）若抛物线经过点，求其解析式；（3）投抛物线交轴于点，若三角形为直角三角形，求点的坐标在学习中还有什么没有弄懂的问题吗？ 家长签字： 家长意见： 【内部资料，请勿外传】第 8 页 共 8 页
