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1、北师大版2019-2020学年数学精品资料一、三角恒等变形公式1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21；商数关系：tan .(2)应用：已知角的一个三角函数值可以知一求二，注意依据三角函数值确定角的终边所在的象限在三角函数式的化简、求值及恒等式证明中有三个技巧：“1”的代换，sin2cos21；切化弦；sin cos 平方整体代换2和(差)角公式(1)公式C，C的公式特点：同名相乘，符号相反；公式S，S的公式特点：异名相乘，符号相同；T的符号规律为“分子同，分母反”(2)和(差)角公式揭示了同名不同角的三角函数的运算规律，公式成立的条件是相关三角函数有意义，尤其是正切函数3
2、二倍角公式(1)分别令公式C，S，T中的，即得公式C2，S2，T2.(2)“二倍”关系是相对的，只要两个角满足比值为2即可倍角公式揭示了具有倍角关系的两个角的三角函数的运算规律(3)公式变形升幂公式：cos 22cos2112sin2，1cos 22cos2，1cos 22sin2.降幂公式：cos2，sin2.4半角公式半角公式实际上是二倍角公式的变形，应用公式求值时要由所在的象限确定相应三角函数值的符号二、公式的应用途径(1)正用公式：从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件进行推算逐步达到目的(2)逆用公式：逆向转换、逆用公式，换个角度思考
3、问题，逆向思维的运用往往会使解题思路茅塞顿开(3)变形应用公式：思考问题时因势利导、融会贯通、灵活应用变形结论如1sin2cos2，1cos2sin2；tan tan tan()(1tan tan )，1tan tan ；sin cos sin 2，cos ；sin2，cos2；2tan tan 2(1tan2)等三、常见的三角恒等变形(1)应用公式进行三角函数式的求值，包括给角求值和给值求值和给值求角三种类型(2)应用公式进行三角函数式的化简(3)应用公式进行三角函数式的证明注意的问题(1)“1”的代换在使用公式进行三角恒等变换的过程中，“1”的代换技巧往往使得变换过程“柳暗花明”例如，1s
4、in2cos2，1tan，1cos 22sin2，12cos2cos 2等(2)辅助角公式辅助角公式几乎高考必考，即asin bcos sin()(tan )常见的有以下几个：sin cos sin()，sin cos 2sin()，sin cos 2sin()四、三角恒等变形技巧常用的技巧有：从“角”入手，即角的变化；从“名”入手，即函数名称的变化；从“幂”入手，即升降幂的变化；从“形”入手，即函数式结构的变化典例1(江苏高考)设为锐角，若cos()，则sin(2)的值为_解析因为为锐角，cos()，所以sin()，sin2()，cos2()，所以sinsin.答案借题发挥1.当已知条件中的
5、角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果2常见的角的变换有：()，2()()，2()，()()()，()()，只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细地观察，往往会发现角与角之间的关系，从而简化解题过程对点训练1已知sin()sin()(0)，求sin 2的值解：sinsincos，sin()sin()sin()cos()sin(2)cos 2，cos 2.0，02，sin 2.典例2已知tan 4，cos()，090，090，求.解090，且tan 4，sin2cos21，cos ，sin .cos()，01
6、80，sin() .cos cos()cos()cos sin()sin ().又090，60.借题发挥1.“给值求角”的一般规律是先求出所求角的一种三角函数值，然后确定所求角的范围，最后根据三角函数值和角的范围求出角2确定的所求角的范围最好是所求三角函数的一个单调区间例如，若所求角的范围是(0，)，选择求所求角的正弦或余弦函数值均可；若所求角的范围为(0，)，选择求所求角的余弦函数值；若所求角的范围是(，)，选择求所求角的正弦函数值对点训练2在ABC中，如果4sin A2cos B1，2sin B4cos A3，则角C的大小为_解析：由4sin A2cos B1，2sin B4cos A3，
7、两边平方相加得sin(AB).如果AB，则B与条件4sin A2cos B1矛盾AB，C.答案：典例3化简：.解法一：原式1.法二：原式1.借题发挥1三角函数式的化简是高考命题的热点，常常与三角函数的图像和性质综合出题，题型灵活多变化简三角函数式的常用方法有：直接应用公式；切化弦；异角化同角；特殊值与特殊角的三角函数互化；通分、约分；配方、去根号2由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类以及不同的式子结构，所以在三角函数式的化简与证明中， 应充分利用所学的三角函数的基本关系式和和、差、倍、半角等公式，首先从角入手，找出待化简(证明)的式子中的差异，然后选择适当的公式“化异为同”，实现
8、三角函数式的化简与证明对点训练3求证：.证明：tan()tan .1tan tan()1.左边右边 典例4(山东高考)已知向量m(sin x，1)，n(Acos x，cos 2x)(A0)，函数f(x)mn的最大值为6.(1)求A；(2)将函数yf(x)的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图像，求g(x)在上的值域解(1)f(x)mnAsin xcos xcos 2xA(sin 2xcos 2x)Asin(2x)因为A0，由题意知A6.(2)由(1)f(x)6sin(2x)将函数yf(x)的图像向左平移个单位后得到y6sin6sin的
9、图像；再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y6sin(4x)的图像因此g(x)6sin(4x)因为x，所以4x，故g(x)在上的值域为3，6借题发挥1以向量为背景，综合考查向量、三角恒等变形、三角函数的性质是近几年高考的热点问题解决此类问题要注意三角恒等变形中由于消项、约分、合并等原因，可能使函数定义域发生变化，所以要在变换前注意三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题2三角函数的图像和性质是三角函数的重要内容如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变形，将三角函数的表达式变形化简转化为yAsin(x)或yAcos(x)的形式，然后根据化简后的三角函数，
10、讨论其图像和性质对点训练4(广东高考)已知函数f(x)Acos，xR，且f.(1)求A的值；(2)设，f，f，求cos()的值解：(1)因为f，所以AcosAcos A，所以A2.(2)由(1)知f(x)2cos，f2cos2sin ，所以sin ，因为，所以cos ；又因为f2cos2cos ，所以cos ，因为，所以sin .所以cos()cos cos sin sin .(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1计算sin 21cos 9sin 69sin 9的结果是()A.B.C D解析：选B
11、原式sin 21cos 9sin(9021)sin 9sin 21cos 9cos 21sin 9sin 30.2(辽宁高考)已知sin cos ，(0，)，则sin 2()A1BC. D1解析：选Asin cos ，(sin cos )22，sin 21.3(重庆高考)设tan ，tan 是方程x23x20的两个根，则tan()的值为()A3 B1C1 D3解析：选A依题意得则tan()3.4若tan 2，则的值为()A0 B.C1 D.解析：选D原式.5(山东高考)若，sin 2，则sin ()A. B.C. D.解析：选D因为，所以2，所以cos 2sin()，(，)，cos().cos cos()cos()cos sin sin ().8函数ysin xcos xcos2x的图像的一个对称中心是()A(，) B(，)C(，) D(，)解析：选Dysin 2xsin 2xcos 2xsin(2x)，当x时，sin(2)0.(，)是函数图像的一个对称中心9(江西高考)若tan 4，则sin 2()A. B.C. D.解析：选D法一：tan 4，4tan 1tan2 ，sin
