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1、第三十一讲 分解质因数法 通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数，来解答应用题的解题方法叫做分解质因数法。分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。例1 一块正方体木块，体积是1331立方厘米。这块正方体木块的棱长是多少厘米？（适于六年级程度）解：把1331分解质因数：1331=111111答：这块正方体木块的棱长是11厘米。例2 一个数的平方等于324，求这个数。（适于六年级程度）解：把324分解质因数：324= 223333=（233）（
2、233）=1818答：这个数是18。例3 相邻两个自然数的最小公倍数是462，求这两个数。（适于六年级程度）解：把462分解质因数：462=23711=（37）（211）=2122答：这两个数是21和22。*例4 ABCD=1673，在这个乘法算式中，A、B、C、D代表不同的数字，ABC是一个三位数。求ABC代表什么数？（适于六年级程度）解：因为ABCD=1673，ABC是一个三位数，所以可把1673分解质因数，然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式，这个三位数就是ABC所代表的数。1673=2397答：ABC代表239。例5 一块正方形田地，面积是2304平方米，这块田地的周长是多
3、少米？（适于六年级程度）解：先把2304分解质因数，并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数，每组质因数的积就是正方形的边长。2304=2222222233=（22223）（22223）=4848正方形的边长是48米。这块田地的周长是：484=192（米）答略。*例6 有3250个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下10个。已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个。求这个幼儿园有多少名小朋友？（适于六年级程度）解：3250-10=3240（个）把3240分解质因数：3240=23345接近40的数有36、37、38、39这些数中36=2232，所以只有36是3240的约数。23345（22
4、32）=2325=90答：这个幼儿园有90名小朋友。*例7 105的约数共有几个？（适于六年级程度）解：求一个给定的自然数的约数的个数，可先将这个数分解质因数，然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积逐一由小到大写出，再求出它的个数即可。因为，105=357，所以，含有一个质数的约数有1、3、5、7共4个；含有两个质数的乘积的约数有35、37、57共3个；含有三个质数的乘积的约数有357共1个。所以，105的约数共有4+3+1=8个。答略。*例8 把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个数平均分成三组，使每组三个数的乘积都相等。这三组数分别是多少？（适于六年级程度）解：将这
5、九个数分别分解质因数：15=3522=21130=23535=5739=31344=221152=221377=71191=713观察上面九个数的质因数，不难看出，九个数的质因数中共有六个2，三个3，三个5，三个7，三个11，三个13，这样每组中三个数应包括的质因数有两个2，一个3，一个5，一个7，一个11和一个13。由以上观察分析可得这三组数分别是：15、52和77；22、30和91；35、39和44。答略。*例9 有四个学生，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们的年龄数相乘的积是5040。四个学生的年龄分别是几岁？（适于六年级程度）解：把5040分解质因数：5040=22223357由于四
6、个学生的年龄一个比一个大1岁，所以他们的年龄数就是四个连续自然数。用八个质因数表示四个连续自然数是：7，222，33，25即四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁。答略。*例10 在等式35（ ）8127=718（ ）162的两个括号中，填上适当的最小的数。（适于六年级程度）解：将已知等式的两边分解质因数，得：5377（ ）=22367（ ）把上面的等式化简，得：15（ ）=4（ ）所以，在左边的括号内填4，在右边的括号内填15。15（4）=4（15）答略。*例11 把84名学生分成人数相等的小组（每组最少2人），一共有几种分法？（适于六年级程度）解：把84分解质因数：84=2237除了
7、1和84外，84的约数有：2，3，7，22=4，23=6，27=14，37=21，223=12，227=28，237=42。下面可根据不同的约数进行分组。842=42（组），843=28（组），844=21（组），846=14（组），847=12（组），8412=7（组），8414=6（组），8421=4（组），8428=3（组），8442=2（组）。因此每组2人分42组；每组3人分28组；每组4人分21组；每组6人分14组；每组7人分12组；每组12人分7组；每组14人分6组；每组21人分4组；每组28人分3组；每组42人分2组。一共有10种分法。答略。*例12 把14、30、33、75、1
8、43、169、4445、4953这八个数分成两组，每组四个数，要使各组数中四个数的乘积相等。求这两组数。（适于六年级程度）解：要使两组数的乘积相等，这两组乘积中的每个因数不必相同，但这些因数经分解质因数，它们所含有的质因数一定相同。因此，首先应把八个数分解质因数。14=27 143=111330=235 169=131333=311 4445=5712775=355 4953=313127在上面的质因式中，质因数2、7、11、127各有2个，质因数3、5、13各有4个。在把题中的八个数分为两组时，应使每一组中的质因数2、7、11、127各有1个，质因数3、5、13各有2个。按这个要求每一组四个
9、数的积应是：271112733551313因为，（27）（355）（1113）（313127）=14751434953，根据接下来为“14、75、143、4953”正符合题意，因此，要求的一组数是14、75、143、4953，另一组的四个数是：30、33、169、4445。答略。*例13 一个长方形的面积是315平方厘米，长比宽多6厘米。求这个长方形的长和宽。（适于五年级程度）解：设长方形的宽为x厘米，则长为（x+6）厘米。根据题意列方程，得：x（x+6）= 315x（x+6）=3357=（35）（37）x（x+6）=1521x（x+6）=15（15+6）x=15x+6=21答：这个长方形的长
10、是21厘米，宽是15厘米。*例14 已知三个连续自然数的积为210，求这三个自然数各是多少？（适于五年级程度）解：设这三个连续自然数分别是x-1，x，x+1，根据题意列方程，得：（x-1）x（x+1）=210=2110=3725=567比较方程两边的因数，得：x=6，x-1=5，x+1=7。答：这三个连续自然数分别是5、6、7。*例15 将37分为甲、乙、丙三个数，使甲、乙、丙三个数的乘积为1440，并且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12，求甲、乙、丙各是几？（适于六年级程度）解：把1440分解质因数：1440= 121210=22322325=（222）（33）（225）=8920如果甲、乙二
11、数分别是8、9，丙数是20，则：89=72，203+12=72正符合题中条件。答：甲、乙、丙三个数分别是8、9、20。*例16 一个星期天的早晨，母亲对孩子们说：“你们是否发现在你们中间，大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和？”儿子们齐声回答说：“是的，我们的年龄和您年龄的乘积，等于您儿子人数的立方乘以1000加上您儿子人数的平方乘以10。”从这次谈话中，你能否确定母亲在多大时，才生下第二个儿子？（适于六年级程度）解：由题意可知，母亲有三个儿子。母亲的年龄与三个儿子年龄的乘积等于：331000+3210=27090把27090分解质因数：27090=4375322根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和
12、”，重新组合上面的质因式得：431495这个质因式中14就是9与5之和。所以母亲43岁，大儿子14岁，二儿子9岁，小儿子5岁。43-9=34（岁）答：母亲在34岁时生下第二个儿子。第三十二讲 最大公约数法通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法，叫做最大公约数法。 例1 甲班有42名学生，乙班有48名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生。每个小组最多有多少名学生？（适于六年级程度）解：要使每个小组都是同一个班的学生，并且要使每个小组的人数尽可能多，就要求出42和48的最大公约数：23=642和48的最大公约数是6。答：每个小组最多能有6名学生。例2
13、有一张长150厘米、宽60厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个面积最大，井已面积相等的正方形。能分割成多少个正方形？（适于六年级程度）解：因为分割成的正方形的面积最大，并且面积相等，所以正方形的边长应是150和60的最大公约数。求出150和60的最大公约数：235=30150和60的最大公约数是30，即正方形的边长是30厘米。看上面的短除式中，150、60除以2之后，再除以3、5，最后的商是5和2。这说明，当正方形的边长是30厘米时，长方形的长150厘米中含有5个30厘米，宽60厘米中含有2个30厘米。所以，这个长方形能分割成正方形：52=10（个）答：能分割成10个正方形。例3 有一个长方体
14、的方木，长是3.25米，宽是1.75米，厚是0.75米。如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大。小木块的棱长是多少？可以截成多少块这样的小木块？（适于六年级程度）解：3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米，此题实际是求325、175和75的最大公约数。55=25325、175和75的最大公约数是25，即小正方体木块的棱长是25厘米。因为75、175、325除以5得商15、35、65，15、35、65再除以5，最后的商是3、7、13，而小正方体木块的棱长是25厘米，所以，在75厘米中包含3个25厘米，在175厘米中包含7个25厘米，在325厘米中包含13个25厘米。可以截成棱长是25厘米的小木块：3713=273（块）答：小正方体木块的棱长是25厘米，可以截成这样大的正方体273块。例4 有三根绳子，第一根长45米，第二根长60米，第三根长75米。现在要把三根长绳截成长度相等的小段。每段最长是多少米？一共可以截成多少段？（适于六年级程度）解：此题实际是求三条绳子长度的最大公约数。35=1545、60和75的最大公
